Как найти решение уравнения sin(2x) = 2cos²(x) и какие корни этого уравнения лежат на отрезке [-π/2; 3π/2]?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения sin(2x) 2cos²(x) корни уравнения отрезок [-π/2; 3π/2] алгебра 11 класс Новый

Для решения уравнения sin(2x) = 2cos²(x) начнем с преобразования левой части уравнения. Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это в уравнение:

2sin(x)cos(x) = 2cos²(x)

Теперь можем сократить обе стороны уравнения на 2 (при условии, что 2 не равно 0):

sin(x)cos(x) = cos²(x)

Теперь перенесем все на одну сторону:

sin(x)cos(x) - cos²(x) = 0

Вынесем cos(x) за скобки:

cos(x)(sin(x) - cos(x)) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение, приравняв каждую из частей к нулю:

1. cos(x) = 0
2. sin(x) - cos(x) = 0

Решим первое уравнение:

Уравнение cos(x) = 0 имеет решения:

• x = π/2 + kπ, где k – целое число.

Теперь найдем такие значения k, чтобы x лежало на отрезке [-π/2; 3π/2]:

• Для k = -1: x = π/2 - π = -π/2
• Для k = 0: x = π/2
• Для k = 1: x = π/2 + π = 3π/2 (не включается, так как 3π/2 не входит в отрезок)

Таким образом, решения из первого уравнения: x = -π/2 и x = π/2.

Теперь решим второе уравнение sin(x) - cos(x) = 0, что эквивалентно:

sin(x) = cos(x)

Это уравнение выполняется, когда:

x = π/4 + kπ, где k – целое число.

Теперь также найдем такие значения k, чтобы x лежало на отрезке [-π/2; 3π/2]:

• Для k = -1: x = π/4 - π = π/4 - 4π/4 = -3π/4
• Для k = 0: x = π/4
• Для k = 1: x = π/4 + π = π/4 + 4π/4 = 5π/4 (не включается, так как 5π/4 не входит в отрезок)

Таким образом, решения из второго уравнения: x = -3π/4 и x = π/4.

Теперь соберем все решения:

• x = -π/2
• x = π/2
• x = -3π/4
• x = π/4

Итак, корни уравнения sin(2x) = 2cos²(x), которые лежат на отрезке [-π/2; 3π/2], это:

• x = -π/2
• x = π/4
• x = π/2
• x = -3π/4