Давайте разберемся, как решить уравнение x² + 11 + √(x² + 11) = 42. Для этого мы будем выполнять последовательные шаги, чтобы упростить уравнение и найти значение x.

1. Сначала упростим уравнение. Обозначим y = x² + 11. Тогда наше уравнение примет вид:

   y + √y = 42

2. Теперь выразим √y:

   √y = 42 - y

3. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

   (√y)² = (42 - y)²

   y = 1764 - 84y + y²

4. Перенесем все члены уравнения на одну сторону и упорядочим его:

   y² - 85y + 1764 = 0

5. Теперь решим получившееся квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

   D = b² - 4ac = (-85)² - 4 * 1 * 1764

   D = 7225 - 7056 = 169

6. Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня. Найдем их:

   y₁ = (85 + √169) / 2 = (85 + 13) / 2 = 98 / 2 = 49

   y₂ = (85 - √169) / 2 = (85 - 13) / 2 = 72 / 2 = 36

7. Теперь вспомним, что y = x² + 11, и подставим найденные значения y обратно:

   • Для y₁ = 49: x² + 11 = 49 ⇒ x² = 49 - 11 = 38
   • Для y₂ = 36: x² + 11 = 36 ⇒ x² = 36 - 11 = 25

8. Решим каждое из уравнений для x:

   • Из x² = 38: x = ±√38
   • Из x² = 25: x = ±√25 = ±5

9. Проверим, какие из найденных значений удовлетворяют исходному уравнению:

   • Подставим x = 5 в оригинальное уравнение: 5² + 11 + √(5² + 11) = 25 + 11 + √36 = 36 + 6 = 42. Значит, x = 5 подходит.
   • Подставим x = -5 в оригинальное уравнение: (-5)² + 11 + √((-5)² + 11) = 25 + 11 + √36 = 36 + 6 = 42. Значит, x = -5 также подходит.
   • Подставим x = √38 и x = -√38, но √38 не является целым числом, и проверка покажет, что они не подходят.

Итак, решениями уравнения являются x = 5 и x = -5.