Чтобы решить уравнение log3 (sin2x + cos (π - x) + 9) = 2, начнем с преобразования логарифмического уравнения в показательное.

1. Преобразуем логарифм в показательное уравнение:

• Из уравнения log3 (sin2x + cos (π - x) + 9) = 2 следует, что:
• sin2x + cos (π - x) + 9 = 3^2.

2. Упростим правую часть:

• 3^2 = 9, поэтому у нас получается:
• sin2x + cos (π - x) + 9 = 9.

3. Упростим уравнение:

• Переносим 9 на правую сторону:
• sin2x + cos (π - x) = 0.

4. Теперь упростим cos (π - x). По свойству косинуса:

• cos (π - x) = -cos x.

5. Подставляем это в уравнение:

• sin2x - cos x = 0.

6. Заменим sin2x с помощью формулы двойного угла:

• sin2x = 2sinxcosx, и тогда уравнение становится:
• 2sinxcosx - cosx = 0.

7. Вынесем cosx за скобки:

• cosx(2sinx - 1) = 0.

8. Теперь у нас есть два множителя, и мы можем решить каждое из уравнений:

• cosx = 0
• 2sinx - 1 = 0.

9. Решим первое уравнение cosx = 0:

• Косинус равен нулю при x = π/2 + kπ, где k – целое число.
• На отрезке [2π; 7π/2] найдем значения:
• x = 5π/2 (при k = 2) и x = 3π/2 (при k = 1).

10. Теперь решим второе уравнение 2sinx - 1 = 0:

• Отсюда sinx = 1/2.
• Синус равен 1/2 при x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k – целое число.
• Теперь подставим значения k для нахождения корней на отрезке [2π; 7π/2]:
• x = π/6 + 2(1)π = 13π/6 (при k = 1);
• x = 5π/6 + 2(1)π = 17π/6 (при k = 1);
• x = π/6 + 2(2)π = 25π/6 (при k = 2);
• x = 5π/6 + 2(2)π = 29π/6 (при k = 2).

11. Теперь соберем все найденные корни:

• 5π/2;
• 3π/2;
• 13π/6;
• 17π/6;
• 25π/6;
• 29π/6.

12. Проверим, что все найденные значения находятся в заданном отрезке [2π; 7π/2]:

• 2π = 12π/6 и 7π/2 = 21π/6.
• Корни 5π/2 = 15π/6, 3π/2 = 9π/6, 13π/6, 17π/6 находятся в отрезке.
• 25π/6 и 29π/6 выходят за пределы.

Итак, окончательные корни уравнения на отрезке [2π; 7π/2]:

• 5π/2;
• 3π/2;
• 13π/6;
• 17π/6.