Как найти все корни уравнения log3 (sin2x + cos (π - x) + 9) = 2, которые находятся на отрезке [2π; 7π/2]?
Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения корни уравнения Логарифмическое уравнение алгебра 11 класс отрезок [2π; 7π/2] sin2x cos(π - x) решение уравнения Новый
Чтобы решить уравнение log3 (sin2x + cos (π - x) + 9) = 2, начнем с преобразования логарифмического уравнения в показательное.
1. Преобразуем логарифм в показательное уравнение:
2. Упростим правую часть:
3. Упростим уравнение:
4. Теперь упростим cos (π - x). По свойству косинуса:
5. Подставляем это в уравнение:
6. Заменим sin2x с помощью формулы двойного угла:
7. Вынесем cosx за скобки:
8. Теперь у нас есть два множителя, и мы можем решить каждое из уравнений:
9. Решим первое уравнение cosx = 0:
10. Теперь решим второе уравнение 2sinx - 1 = 0:
11. Теперь соберем все найденные корни:
12. Проверим, что все найденные значения находятся в заданном отрезке [2π; 7π/2]:
Итак, окончательные корни уравнения на отрезке [2π; 7π/2]: