Как найти значение интеграла (y-1)ln(y) dy?

Алгебра 11 класс Интегралы и интегральное исчисление значение интеграла интеграл (y-1)ln(y) алгебра 11 класс вычисление интегралов методы интегрирования Новый

Чтобы найти значение интеграла ∫(y - 1)ln(y) dy, нам нужно использовать метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:

∫u dv = uv - ∫v du

Где:

• u - функция, которую мы выбираем для дифференцирования;
• dv - функция, которую мы выбираем для интегрирования.

В нашем случае, давайте выберем:

• u = ln(y) (тогда du = (1/y) dy);
• dv = (y - 1) dy (тогда v = (y^2/2 - y)).

Теперь подставим эти значения в формулу интегрирования по частям:

∫(y - 1)ln(y) dy = uv - ∫v du

Подставим найденные значения:

∫(y - 1)ln(y) dy = (ln(y) * (y^2/2 - y)) - ∫((y^2/2 - y) * (1/y)) dy

Теперь упростим второй интеграл:

∫((y^2/2 - y) * (1/y)) dy = ∫(y/2 - 1) dy

Теперь интегрируем:

∫(y/2 - 1) dy = (y^2/4 - y) + C, где C - константа интегрирования.

Теперь подставим это обратно в наше выражение:

∫(y - 1)ln(y) dy = ln(y) * (y^2/2 - y) - (y^2/4 - y) + C

Таким образом, окончательный ответ для интеграла:

∫(y - 1)ln(y) dy = ln(y) * (y^2/2 - y) - (y^2/4 - y) + C

Не забудьте, что C - это произвольная константа, которую мы добавляем к неопределенному интегралу.