Как определить корень уравнения sin(2x) = 1/2, находящийся в интервале [-π/2; π]?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций корень уравнения sin(2x) = 1/2 интервал [-π/2; π] алгебра 11 класс решение тригонометрических уравнений Новый

Чтобы решить уравнение sin(2x) = 1/2, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем общее решение уравнения sin(θ) = 1/2.

Мы знаем, что синус равен 1/2 в следующих углах:

• θ = π/6 + 2kπ, где k - любое целое число;
• θ = 5π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.

Шаг 2: Подставим 2x вместо θ.

Теперь подставим 2x вместо θ:

• 2x = π/6 + 2kπ;
• 2x = 5π/6 + 2kπ.

Шаг 3: Найдем x.

Теперь разделим обе стороны на 2, чтобы найти x:

• x = π/12 + kπ;
• x = 5π/12 + kπ.

Шаг 4: Найдем корни в заданном интервале [-π/2; π].

Теперь нам нужно найти значения x для различных целых k, которые попадают в интервал [-π/2; π].

• Для k = 0:
• x = π/12 ≈ 0.26 (входит в интервал);
• x = 5π/12 ≈ 1.31 (входит в интервал);
• Для k = -1:
• x = π/12 - π ≈ -2.88 (не входит в интервал);
• x = 5π/12 - π ≈ -1.82 (не входит в интервал);
• Для k = 1:
• x = π/12 + π ≈ 3.40 (не входит в интервал);
• x = 5π/12 + π ≈ 4.41 (не входит в интервал);

Шаг 5: Записываем найденные корни.

Таким образом, корни уравнения sin(2x) = 1/2 в интервале [-π/2; π]:

• x = π/12;
• x = 5π/12.

Ответ: x = π/12 и x = 5π/12.