Как определить все значения x, при которых производная функции f(x)=sin^4(3x) равна функции φ(x)=6sin(6x)?

Алгебра 11 класс Производные функций значения x производная функции f(x)=sin^4(3x) φ(x)=6sin(6x) алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти все значения x, при которых производная функции f(x) равна функции φ(x), нам нужно сначала вычислить производную функции f(x) = sin^4(3x). Затем мы сравним эту производную с функцией φ(x) = 6sin(6x).

Шаг 1: Найдем производную f(x)

Функция f(x) = sin^4(3x) является сложной функцией, и для нахождения её производной мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции и правилом произведения.

• Сначала применим правило производной степени: если u = sin(3x), то f(x) = u^4.
• По правилу производной степени: f'(x) = 4u^3 * u', где u' - производная sin(3x).
• Теперь найдем u': производная sin(3x) = 3cos(3x) (по правилу цепочки).
• Подставляем u и u' в формулу: f'(x) = 4(sin(3x))^3 * 3cos(3x) = 12sin^3(3x)cos(3x).

Шаг 2: Приравняем производную к функции φ(x)

Теперь у нас есть выражение для производной:

f'(x) = 12sin^3(3x)cos(3x).

Мы приравниваем его к φ(x):

12sin^3(3x)cos(3x) = 6sin(6x).

Шаг 3: Упростим уравнение

Разделим обе стороны уравнения на 6:

2sin^3(3x)cos(3x) = sin(6x).

Теперь используем тригонометрическую идентичность: sin(6x) = 2sin(3x)cos(3x). Подставим это в уравнение:

2sin^3(3x)cos(3x) = 2sin(3x)cos(3x).

Шаг 4: Упростим уравнение

Мы можем сократить обе стороны на 2cos(3x), при условии, что cos(3x) ≠ 0:

sin^3(3x) = sin(3x).

Шаг 5: Решим уравнение

Теперь мы можем вынести sin(3x) за скобки:

sin(3x)(sin^2(3x) - 1) = 0.

Это уравнение равно нулю, если:

• sin(3x) = 0,
• sin^2(3x) - 1 = 0, что дает sin(3x) = ±1.

Шаг 6: Найдем значения x

1. Для sin(3x) = 0:

3x = nπ, где n - целое число. Следовательно, x = nπ/3.

2. Для sin(3x) = 1:

3x = π/2 + 2kπ, где k - целое число. Следовательно, x = (π/6 + 2kπ/3).

3. Для sin(3x) = -1:

3x = 3π/2 + 2mπ, где m - целое число. Следовательно, x = (π/2 + 2mπ/3).

Итак, окончательный ответ:

Все значения x, при которых производная функции f(x) = sin^4(3x) равна функции φ(x) = 6sin(6x), выражаются следующими формулами:

• x = nπ/3, где n - целое число;
• x = (π/6 + 2kπ/3), где k - целое число;
• x = (π/2 + 2mπ/3), где m - целое число.