Как определить значения a, b и c, чтобы система уравнений: 1) 3x + 2y = 5, 2) ax + by = c обладала следующими свойствами: a) имела единственное конечное множество решений, б) не имела решений, в) имела бесконечно много решений?

Алгебра 11 класс Системы линейных уравнений значения a B C система уравнений уникальные решения отсутствие решений бесконечные решения алгебра 11 класс Новый

Чтобы определить значения a, b и c для системы уравнений, давайте сначала вспомним, что система линейных уравнений может иметь три типа решений: единственное, бесконечно много решений или не иметь решений. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.

1. Условия для единственного решения:

Система уравнений имеет единственное решение, если два уравнения не являются параллельными, то есть их коэффициенты пропорциональны. Для этого необходимо, чтобы:

• Коэффициенты при x и y в обоих уравнениях не были пропорциональны.

Для нашей системы:

1. Коэффициенты первого уравнения: 3 (при x) и 2 (при y).
2. Коэффициенты второго уравнения: a (при x) и b (при y).

Следовательно, чтобы система имела единственное решение, должно выполняться:

• (3/a) ≠ (2/b) или a и b не могут быть пропорциональны.

2. Условия для отсутствия решений:

Система не имеет решений, если два уравнения являются параллельными, но не совпадают. Это происходит, когда:

• (3/a) = (2/b) и (c ≠ 5).

Таким образом, мы можем выбрать a и b так, чтобы они были пропорциональны 3 и 2 соответственно, например, a = 3k и b = 2k для некоторого k, и при этом выбрать c, чтобы оно не равнялось 5.

3. Условия для бесконечно многих решений:

Система имеет бесконечно много решений, если оба уравнения совпадают, то есть:

• (3/a) = (2/b) и (c = 5).

Это также означает, что a и b должны быть пропорциональны 3 и 2, как и в случае с отсутствием решений, но c должно быть равно 5.

В итоге, мы можем подвести итоги:

• Для единственного решения: a и b не пропорциональны (например, a = 3 и b = 1).
• Для отсутствия решений: a = 3k, b = 2k (например, a = 3, b = 2) и c ≠ 5 (например, c = 6).
• Для бесконечно многих решений: a = 3k, b = 2k (например, a = 3, b = 2) и c = 5.