Как применить метод Гаусса для решения системы уравнений, где:

• x1 + 2x2 - 2x3 = 1
• x1 + 3x2 - 3x3 = 1
• 3x1 + x2 - 2x3 = 1

Все переменные x пишутся с маленькой буквы.

Алгебра 11 класс Системы линейных уравнений метод Гаусса система уравнений решение уравнений алгебра 11 класс линейные уравнения матричный метод Новый

Метод Гаусса — это эффективный способ решения систем линейных уравнений. Давайте применим его к вашей системе уравнений:

• x1 + 2x2 - 2x3 = 1
• x1 + 3x2 - 3x3 = 1
• 3x1 + x2 - 2x3 = 1

Сначала запишем систему в виде расширенной матрицы:

|  1   2  -2 |  1 |
|  1   3  -3 |  1 |
|  3   1  -2 |  1 |

Теперь начнем преобразование матрицы к верхнетреугольному виду. Для этого будем использовать операции над строками.

1. Сначала вычтем первую строку из второй:

|  1   2  -2 |  1 |
|  0   1  -1 |  0 |
|  3   1  -2 |  1 |

2. Теперь вычтем 3 умноженную на первую строку из третьей:

|  1   2  -2 |  1 |
|  0   1  -1 |  0 |
|  0  -5   4 | -2 |

3. Следующим шагом преобразуем третью строку. Для этого добавим 5 умноженную на вторую строку к третьей:

|  1   2  -2 |  1 |
|  0   1  -1 |  0 |
|  0   0   -1 | -2 |

Теперь у нас есть верхнетреугольная матрица. Мы можем перейти к обратной подстановке.

1. Из третьего уравнения получаем:

-1 * x3 = -2  =>  x3 = 2

2. Подставим x3 в второе уравнение:

0 * x1 + 1 * x2 - 1 * 2 = 0  =>  x2 - 2 = 0  =>  x2 = 2

3. Теперь подставим значения x2 и x3 в первое уравнение:

1 * x1 + 2 * 2 - 2 * 2 = 1  =>  x1 + 4 - 4 = 1  =>  x1 = 1

Таким образом, мы получили решение системы:

• x1 = 1
• x2 = 2
• x3 = 2

Ответ: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 2.