Как решить логарифмическое уравнение: lg(x-3) + lg(x+3) = 0?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения Логарифмическое уравнение решение уравнения алгебра 11 класс lg(x-3) lg(x+3) математические уравнения Новый

Чтобы решить логарифмическое уравнение lg(x-3) + lg(x+3) = 0, следуем следующим шагам:

1. Используем свойства логарифмов: Сначала применим свойство логарифмов, которое гласит, что lg(a) + lg(b) = lg(a*b). Это позволяет нам объединить логарифмы:

lg(x-3) + lg(x+3) = lg((x-3)*(x+3))

2. Записываем уравнение: После применения свойства, уравнение становится:

lg((x-3)*(x+3)) = 0

3. Переводим логарифмическое уравнение в экспоненциальное: Поскольку lg(a) = 0 эквивалентно a = 10^0 = 1, мы можем записать:

(x-3)*(x+3) = 1

4. Упрощаем уравнение: Теперь раскроем скобки:

x^2 - 9 = 1

5. Переносим все в одну сторону: Переносим 1 влево:

x^2 - 10 = 0

6. Находим корни уравнения: Это квадратное уравнение можно решить, используя формулу корней:

x = ±√10

7. Находим действительные корни: Получаем два значения:
• x1 = √10
• x2 = -√10
8. Проверяем условия логарифмов: Поскольку логарифм определен только для положительных аргументов, необходимо проверить, при каких значениях x логарифмы lg(x-3) и lg(x+3) определены:

x - 3 > 0 ⇒ x > 3

x + 3 > 0 ⇒ x > -3

9. Итак, условие для x: С учетом этих условий, x должен быть больше 3. Таким образом, из двух найденных корней:
• √10 ≈ 3.16 > 3 (приемлемый корень)
• -√10 < 3 (неприемлемый корень)
10. Ответ: Таким образом, единственным решением уравнения является:

x = √10