Как решить логарифмическое уравнение: log_4(x+2) - log_4(x-2) = log_4*2?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения Логарифмическое уравнение решение уравнения алгебра 11 класс log_4 свойства логарифмов Новый

Для решения логарифмического уравнения log_4(x+2) - log_4(x-2) = log_4(2) мы будем использовать свойства логарифмов.

Шаг 1: Применим свойство логарифмов, которое гласит, что разность логарифмов равна логарифму отношения:

• log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c).

Таким образом, мы можем переписать наше уравнение:

log_4((x+2)/(x-2)) = log_4(2).

Шаг 2: Поскольку основания логарифмов одинаковые, мы можем избавиться от логарифмов, приравняв их аргументы:

(x + 2)/(x - 2) = 2.

Шаг 3: Умножим обе стороны уравнения на (x - 2) (при этом x - 2 не должно равняться нулю, то есть x не может быть равным 2):

x + 2 = 2(x - 2).

Шаг 4: Раскроем скобки:

x + 2 = 2x - 4.

Шаг 5: Переносим все слагаемые с x в одну сторону, а свободные в другую:

2 + 4 = 2x - x.

Таким образом, получаем:

6 = x.

Шаг 6: Проверим, подходит ли найденное значение x = 6 под условия логарифмов:

• x + 2 = 6 + 2 = 8 (положительное),
• x - 2 = 6 - 2 = 4 (положительное).

Оба аргумента логарифмов положительные, значит, решение допустимо.

Ответ: x = 6.