Как решить неравенство log x+1(2x-5) + log 2x-5(x+1) меньше или равно 2?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство алгебра 11 класс логарифмы решение неравенства log log x log 2x математические операции неравенство log алгебраические выражения решение логарифмического неравенства x 2x-5 x+1 меньше или равно 2 Новый

Чтобы решить неравенство log_(x+1)(2x-5) + log_(2x-5)(x+1) ≤ 2, начнем с определения области допустимых значений (ОДЗ).

• 1. Условие для логарифма: Поскольку логарифмы определены только для положительных аргументов, мы должны выполнить следующие условия:
• Для логарифма log_(x+1)(2x-5) необходимо, чтобы 2x-5 > 0, что дает x > 2.5.
• Для логарифма log_(2x-5)(x+1) необходимо, чтобы x+1 > 0, что дает x > -1.
• 2. Условия для равенства логарифма: Также нужно учитывать, что логарифмические выражения не могут равняться единице:
• Для log_(x+1)(2x-5) ≠ 1, получаем 2x-5 ≠ (x+1), что упрощается до x ≠ 3.
• Для log_(2x-5)(x+1) ≠ 1, получаем x+1 ≠ (2x-5), что упрощается до x ≠ 4.

Теперь объединим все условия в ОДЗ:

• Сначала из условий x > 2.5 и x > -1 мы получаем, что x > 2.5 будет более строгим условием.
• Из условий x ≠ 3 и x ≠ 4 мы исключаем только значения 3 и 4.

Таким образом, общее ОДЗ будет: x ∈ (2.5; 3) ∪ (3; 4) ∪ (4; +∞).

Теперь перейдем к решению неравенства. Обозначим t = log_(x+1)(2x-5). Тогда неравенство можно переписать как:

t + 1/t ≤ 2.

Умножим обе части на t (при условии, что t > 0, так как логарифм положителен в нашем случае):

(t^2 - 2t + 1) / t ≤ 0, что упрощается до:

(t - 1)² / t ≤ 0.

Теперь анализируем полученное неравенство:

• Числитель (t - 1)² всегда неотрицателен и равен нулю, когда t = 1.
• Знаменатель t также должен быть положителен, что требует, чтобы t > 0.

Таким образом, неравенство выполняется, когда t = 1. Теперь вернемся к логарифму:

log_(x+1)(2x-5) = 1 означает, что 2x - 5 = x + 1, что приводит к x = 6.

Теперь проверим, подходит ли x = 6 в нашу ОДЗ:

6 > 2.5, так что это значение допустимо.

Таким образом, решение неравенства log_(x+1)(2x-5) + log_(2x-5)(x+1) ≤ 2 - это x = 6.