Как решить неравенство (log2(x+4,2)+2)(log2(x+4,2)–3) ≥ 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами алгебра 11 класс неравенство логарифмы решение неравенства log2 логарифм по основанию 2 математический анализ неравенства с логарифмами график логарифмической функции Новый

Решение неравенства:

Рассмотрим неравенство:

(log₂(x + 4, 2) + 2)(log₂(x + 4, 2) - 3) ≥ 0

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку логарифм определен только для положительных аргументов, нам нужно, чтобы:

x + 4 > 0

Это означает, что:

x > -4

Таким образом, ОДЗ: x ∈ (-4; +∞).

Теперь сделаем замену переменной, обозначив:

log₂(x + 4) = t

Тогда наше неравенство превращается в:

(t + 2)(t - 3) ≥ 0

Теперь найдем корни данного произведения:

• Первый корень: t + 2 = 0 → t = -2
• Второй корень: t - 3 = 0 → t = 3

Теперь мы можем определить промежутки, на которых будет выполняться неравенство. Мы проверим знаки в интервалах, образованных корнями:

• t < -2: например, t = -3 → (-3 + 2)(-3 - 3) = (-)(-) > 0
• -2 < t < 3: например, t = 0 → (0 + 2)(0 - 3) = (+)(-) < 0
• t > 3: например, t = 4 → (4 + 2)(4 - 3) = (+)(+) > 0

Таким образом, неравенство выполняется на следующих интервалах:

t ∈ (-∞; -2] ∪ [3; +∞)

Теперь вернемся к переменной x. Нам нужно решить два неравенства:

1. log₂(x + 4) ≤ -2
2. log₂(x + 4) ≥ 3

Решим первое неравенство:

log₂(x + 4) ≤ -2

Это означает, что:

x + 4 ≤ 2⁻² = 1/4

Следовательно:

x ≤ 1/4 - 4 = -3.75

Теперь решим второе неравенство:

log₂(x + 4) ≥ 3

Это означает, что:

x + 4 ≥ 2³ = 8

Следовательно:

x ≥ 8 - 4 = 4

Таким образом, мы получили два решения:

• x ∈ (-∞; -3.75]
• x ∈ [4; +∞)

Учитывая область допустимых значений (ОДЗ), мы можем объединить результаты:

x ∈ (-4; -3.75] ∪ [4; +∞)

Ответ:

D(y) = (-4; -3.75] ∪ [4; +∞)