Как решить уравнение 2cos^2*x + 5cosx + 2 = 0 и найти корни, которые находятся в промежутке [П; 3П]?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения уравнение cos корни уравнения алгебра 11 класс промежуток [П; 3П] Новый

Чтобы решить уравнение 2cos²(x) + 5cos(x) + 2 = 0, начнем с замены переменной. Обозначим cos(x) как t. Тогда уравнение можно записать в следующем виде:

2t² + 5t + 2 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта. Сначала найдем дискриминант D:

• D = b² - 4ac, где a = 2, b = 5, c = 2.
• D = 5² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9.

Дискриминант положителен, значит, у уравнения есть два различных корня. Находим их по формуле:

t1,2 = (-b ± √D) / (2a)

• t1 = (-5 + √9) / (2 * 2) = (-5 + 3) / 4 = -2 / 4 = -0.5.
• t2 = (-5 - √9) / (2 * 2) = (-5 - 3) / 4 = -8 / 4 = -2.

Теперь у нас есть два значения для t: t1 = -0.5 и t2 = -2. Теперь мы должны вернуться к cos(x) и решить уравнения:

cos(x) = -0.5

cos(x) = -2

Однако, cos(x) не может быть равен -2, так как значение косинуса всегда находится в диапазоне от -1 до 1. Поэтому мы рассматриваем только первый корень.

Теперь найдем значения x, для которых cos(x) = -0.5. Это происходит в следующих quadrants:

• 2-й квадрант: x = 2П/3 + 2kП, где k - целое число.
• 3-й квадрант: x = 4П/3 + 2kП, где k - целое число.

Теперь подставим k = 0, чтобы найти корни в промежутке [П; 3П]:

• Для 2-го квадранта: x = 2П/3 (не подходит, так как меньше П).
• Для 3-го квадранта: x = 4П/3 (подходит, так как 4П/3 находится между П и 3П).

Теперь проверим, какие значения k могут дать корни в заданном диапазоне:

• Для 2-го квадранта: x = 2П/3 + 2kП.
• При k = 1: x = 2П/3 + 2П = 8П/3 (подходит).
• Для 3-го квадранта: x = 4П/3 + 2kП.
• При k = 0: x = 4П/3 (подходит).
• При k = 1: x = 4П/3 + 2П = 10П/3 (подходит).

Таким образом, корни уравнения 2cos²(x) + 5cos(x) + 2 = 0 в промежутке [П; 3П] будут:

• x = 4П/3
• x = 8П/3
• x = 10П/3