Как решить уравнение 2cos^3x-cos^2x+2cosx-1=0?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций решить уравнение алгебра 2cos^3x cos^2x cosX математические уравнения тригонометрические функции методы решения уравнений Новый

Давай разберемся с этим уравнением! Это уравнение выглядит немного сложным, но на самом деле мы можем его упростить и найти корни. У нас есть уравнение:

2cos^3(x) - cos^2(x) + 2cos(x) - 1 = 0

Первое, что мы можем сделать, это обозначить y = cos(x). Тогда наше уравнение станет:

2y^3 - y^2 + 2y - 1 = 0

Теперь у нас есть кубическое уравнение! Давай попробуем найти его корни. Для этого мы можем использовать метод подбора или теорему Виета. Начнем с подбора простых значений для y:

• Если y = 1: 2(1)^3 - (1)^2 + 2(1) - 1 = 2 - 1 + 2 - 1 = 2 (не корень)
• Если y = 0: 2(0)^3 - (0)^2 + 2(0) - 1 = -1 (не корень)
• Если y = -1: 2(-1)^3 - (-1)^2 + 2(-1) - 1 = -2 - 1 - 2 - 1 = -6 (не корень)

Похоже, что простые значения не сработали. Давай попробуем разложить это уравнение. Мы можем использовать метод деления многочленов или просто попытаться разложить его на множители. Давай попробуем:

Мы можем попробовать разделить это уравнение на (y - 1) и посмотреть, получится ли у нас что-то:

После деления мы получим:

(y - 1)(2y^2 + y + 1) = 0

Теперь у нас есть два множителя. Первый множитель дает нам корень:

y - 1 = 0 => y = 1

Теперь давай посмотрим на второй множитель:

2y^2 + y + 1 = 0

Чтобы найти корни, можем использовать дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*2*1 = 1 - 8 = -7

Так как дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет действительных корней. Значит, единственный корень, который у нас есть, это y = 1.

Теперь возвращаемся к cos(x):

cos(x) = 1

Это происходит, когда x = 2πn, где n — целое число.

Итак, финальный ответ:

• x = 2πn, n ∈ Z

Ура! Мы решили уравнение! Надеюсь, тебе понравилось это путешествие по миру косинусов и уравнений!