Чтобы решить уравнение 4sin^2x + tgx = 0 на интервале [-2π; -π], следуем следующим шагам:

1. Перепишем уравнение: У нас есть два тригонометрических выражения: sin^2x и tgx. Мы можем выразить tgx через sinx и cosx:
   • tgx = sinx/cosx
2. Подставим tgx в уравнение:
   • 4sin^2x + sinx/cosx = 0
3. Умножим все на cosx (при условии, что cosx ≠ 0):
   • 4sin^2x * cosx + sinx = 0
4. Вынесем sinx за скобки:
   • sinx(4sinx * cosx + 1) = 0
5. Теперь у нас два случая:
   • 1) sinx = 0
   • 2) 4sinx * cosx + 1 = 0
6. Решим первый случай:
   • sinx = 0, значит x = kπ, где k - целое число.
   • На интервале [-2π; -π] возможные значения: x = -2π, x = -π.
7. Решим второй случай:
   • 4sinx * cosx + 1 = 0
   • 4sinx * cosx = -1
   • sinx * cosx = -1/4
   • Используем формулу: sin(2x) = 2sinx * cosx, тогда:
   • sin(2x) = -1/2.
   • Решаем уравнение sin(2x) = -1/2.
8. Находим 2x:
   • 2x = 7π/6 + 2kπ и 2x = 11π/6 + 2kπ, где k - целое число.
9. Делим на 2, чтобы найти x:
   • x = 7π/12 + kπ и x = 11π/12 + kπ.
10. Теперь подбираем значения k, чтобы x находилось в интервале [-2π; -π]:
    • Для x = 7π/12: k = -2 даст x = 7π/12 - 2π = 7π/12 - 24π/12 = -17π/12 (не подходит).
    • k = -1 даст x = 7π/12 - π = 7π/12 - 12π/12 = -5π/12 (подходит).
    • Для x = 11π/12: k = -2 даст x = 11π/12 - 2π = 11π/12 - 24π/12 = -13π/12 (подходит).

Итак, все решения уравнения на интервале [-2π; -π]:

• x = -2π
• x = -π
• x = -5π/12
• x = -13π/12