Как решить уравнение 4sin^3x=3cos(x-π/2)? Можно подробно с решением.

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения алгебра 4sin^3x 3cos(x-π/2) подробное решение тригонометрические уравнения математический анализ Новый

Для решения уравнения 4sin^3(x) = 3cos(x - π/2) начнем с упрощения правой части уравнения. Мы знаем, что cos(x - π/2) = sin(x) по тригонометрическим свойствам. Таким образом, наше уравнение можно переписать следующим образом:

4sin^3(x) = 3sin(x)

Теперь мы можем перенести все члены в одну сторону уравнения:

4sin^3(x) - 3sin(x) = 0

Теперь вынесем sin(x) за скобки:

sin(x)(4sin^2(x) - 3) = 0

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это значит, что хотя бы один из множителей равен нулю. Мы можем рассмотреть два случая:

1. Первый случай: sin(x) = 0
2. Второй случай: 4sin^2(x) - 3 = 0

Решение первого случая:

Уравнение sin(x) = 0 имеет решение:

x = kπ, где k - любое целое число.

Решение второго случая:

Решим уравнение 4sin^2(x) - 3 = 0. Переносим 3 в правую часть:

4sin^2(x) = 3

Теперь делим обе стороны на 4:

sin^2(x) = 3/4

Теперь найдем sin(x):

sin(x) = ±√(3/4) = ±√3/2

Теперь найдем значения x, для которых sin(x) = √3/2 и sin(x) = -√3/2:

• Для sin(x) = √3/2:
• x = π/3 + 2kπ
• x = 2π/3 + 2kπ
• Для sin(x) = -√3/2:
• x = 4π/3 + 2kπ
• x = 5π/3 + 2kπ

Теперь мы можем собрать все решения вместе:

Общие решения:

• x = kπ, где k - любое целое число;
• x = π/3 + 2kπ, где k - любое целое число;
• x = 2π/3 + 2kπ, где k - любое целое число;
• x = 4π/3 + 2kπ, где k - любое целое число;
• x = 5π/3 + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, мы нашли все решения данного уравнения.