Как решить уравнение: 5*2^(2x) - 7*10^(x) + 2*5^(2x) = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией решение уравнения алгебра 11 класс уравнения с экспонентами 5*2^(2x) 7*10^(x) 2*5^(2x) методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 5*2^(2x) - 7*10^(x) + 2*5^(2x) = 0, давайте начнем с преобразования выражений, чтобы упростить уравнение.

Во-первых, заметим, что 10^(x) можно выразить через 2^(x) и 5^(x):

• 10^(x) = 2^(x) * 5^(x)

Теперь перепишем уравнение, заменив 10^(x):

5*2^(2x) - 7*(2^(x) * 5^(x)) + 2*5^(2x) = 0.

Далее, заметим, что 2^(2x) = (2^(x))^2 и 5^(2x) = (5^(x))^2. Обозначим:

• y = 2^(x)
• z = 5^(x)

Таким образом, уравнение можно переписать как:

5*y^2 - 7*(y*z) + 2*z^2 = 0.

Теперь это уравнение является квадратным относительно переменной y. Чтобы решить его, давайте выразим y через z:

Рассмотрим уравнение как квадратное:

5*y^2 - 7*y*z + 2*z^2 = 0.

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

• y = [7*z ± sqrt((7*z)^2 - 4*5*2*z^2)] / (2*5).

Теперь найдем дискриминант:

D = (7*z)^2 - 4*5*2*z^2 = 49*z^2 - 40*z^2 = 9*z^2.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

y1 = [7*z + 3*z] / 10 = z,

y2 = [7*z - 3*z] / 10 = (2*z)/5.

Теперь вернемся к нашим обозначениям:

• y1 = 2^(x) = z = 5^(x),
• y2 = 2^(x) = (2*z)/5 = 2*5^(x)/5 = (2/5)*5^(x).

Теперь решим каждое из уравнений:

1. 1) 2^(x) = 5^(x):
2. 2) 2^(x) = (2/5)*5^(x):

Решим первое уравнение:

2^(x) / 5^(x) = 1,

или (2/5)^(x) = 1, что дает x = 0.

Теперь решим второе уравнение:

2^(x) = (2/5)*5^(x),

или 2^(x) / 5^(x) = 2/5,

или (2/5)^(x) = 2/5, что дает x = 1.

Таким образом, мы получили два решения:

• x = 0,
• x = 1.

Ответ: x = 0 и x = 1.