Как решить уравнение: cos(pi/4 + 2x) = 1/2? Прошу объяснить подробно.

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения алгебра 11 класс cos(pi/4 + 2x) тригонометрические уравнения подробное объяснение Новый

Чтобы решить уравнение cos(pi/4 + 2x) = 1/2, давайте следовать пошагово:

1. Определим, когда косинус равен 1/2.
   • Значение косинуса равно 1/2 в следующих углах: pi/3 и 5pi/3 (или 2pi/3 + 2kpi, где k - любое целое число).
2. Запишем два уравнения на основе найденных углов.
   • Первое уравнение: pi/4 + 2x = pi/3 + 2kpi
   • Второе уравнение: pi/4 + 2x = 5pi/3 + 2kpi
3. Решим первое уравнение.
   • Переносим pi/4 в правую часть: 2x = pi/3 - pi/4 + 2kpi
   • Найдем общий знаменатель для pi/3 и pi/4. Общий знаменатель - 12:
   • pi/3 = 4pi/12
   • pi/4 = 3pi/12
   • Теперь подставляем: 2x = (4pi/12 - 3pi/12) + 2kpi
   • Упрощаем: 2x = pi/12 + 2kpi
   • Делим обе стороны на 2: x = pi/24 + kpi
4. Решим второе уравнение.
   • Переносим pi/4 в правую часть: 2x = 5pi/3 - pi/4 + 2kpi
   • Снова найдем общий знаменатель для 5pi/3 и pi/4:
   • 5pi/3 = 20pi/12
   • pi/4 = 3pi/12
   • Теперь подставляем: 2x = (20pi/12 - 3pi/12) + 2kpi
   • Упрощаем: 2x = 17pi/12 + 2kpi
   • Делим обе стороны на 2: x = 17pi/24 + kpi

Таким образом, у нас есть два семейства решений:

• x = pi/24 + kpi, где k - любое целое число.
• x = 17pi/24 + kpi, где k - любое целое число.

Это и есть все возможные решения данного уравнения.