Как решить уравнение: (cosx + sinx)^2 = cos2x?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения алгебра 11 класс (cosx + sinx)^2 cos2x тригонометрические уравнения Новый

Давайте решим уравнение (cosx + sinx)^2 = cos2x шаг за шагом.

Шаг 1: Раскроем левую часть уравнения.

Сначала у нас есть (cosx + sinx)^2. Мы можем раскрыть скобки:

• (cosx + sinx)(cosx + sinx) = cos^2x + 2cosxsinx + sin^2x

По тригонометрической идентичности мы знаем, что cos^2x + sin^2x = 1. Таким образом, левая часть уравнения становится:

• 1 + 2cosxsinx

Шаг 2: Используем тригонометрическую идентичность для правой части.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: cos2x. Мы можем использовать тригонометрическую идентичность:

• cos2x = cos^2x - sin^2x

Мы также можем выразить cos2x через sin и cos, используя другую идентичность:

• cos2x = 1 - 2sin^2x

Это даст нам два возможных представления для правой части. Мы будем использовать первое представление для дальнейших расчетов.

Шаг 3: Подставим полученные выражения в уравнение.

Теперь подставим все обратно в уравнение:

• 1 + 2cosxsinx = cos^2x - sin^2x

Шаг 4: Преобразуем уравнение.

Переносим все термины на одну сторону:

• 1 + 2cosxsinx - cos^2x + sin^2x = 0

Теперь мы можем воспользоваться тем, что sin^2x = 1 - cos^2x, чтобы выразить уравнение только через cosx:

• 1 + 2cosxsinx - cos^2x + (1 - cos^2x) = 0

Соберем подобные члены:

• 2 - 2cos^2x + 2cosxsinx = 0

Это можно упростить:

• -2cos^2x + 2cosxsinx + 2 = 0

Шаг 5: Упростим уравнение.

Разделим все на 2:

• -cos^2x + cosxsinx + 1 = 0

Шаг 6: Решим уравнение.

Это квадратное уравнение относительно cosx. Обозначим cosx как t:

• -t^2 + ts + 1 = 0

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

• t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = -1, b = sinx, c = 1. Подставим значения и найдем корни.

Шаг 7: Находим значения x.

После нахождения корней t, мы можем вернуться к cosx и решить для x, используя арккосинус:

• x = arccos(t)

Не забудьте учесть периодичность тригонометрических функций и возможные решения в интервале [0, 2π].

Таким образом, у нас есть шаги для решения уравнения (cosx + sinx)^2 = cos2x. Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, пожалуйста, дайте знать!