Как решить уравнение х³ + 16x = 5x² + 80? Если у этого уравнения несколько корней, какой из них будет меньшим?

Алгебра 11 класс Уравнения третьей степени решение уравнения уравнение х³ + 16x корни уравнения меньший корень алгебра 11 класс методы решения уравнений анализ уравнений математические задачи алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение х³ + 16x = 5x² + 80, сначала приведем все члены уравнения к одной стороне. Для этого перенесем 5x² и 80 влево:

Шаг 1: Приведение к стандартному виду

• х³ - 5x² + 16x - 80 = 0

Теперь у нас есть кубическое уравнение в стандартном виде.

Шаг 2: Поиск корней

Для поиска корней кубического уравнения можно воспользоваться методом подбора или теорией рациональных корней. Попробуем подставить некоторые целые числа в уравнение:

• Подставим x = 4:
• 4³ - 5 * 4² + 16 * 4 - 80 = 64 - 80 + 64 - 80 = -32 (не корень)
• Подставим x = 5:
• 5³ - 5 * 5² + 16 * 5 - 80 = 125 - 125 + 80 - 80 = 0 (корень)
• Подставим x = -4:
• (-4)³ - 5 * (-4)² + 16 * (-4) - 80 = -64 - 80 - 64 - 80 = -288 (не корень)
• Подставим x = -5:
• (-5)³ - 5 * (-5)² + 16 * (-5) - 80 = -125 - 125 - 80 - 80 = -410 (не корень)
• Подставим x = 2:
• 2³ - 5 * 2² + 16 * 2 - 80 = 8 - 20 + 32 - 80 = -60 (не корень)
• Подставим x = 3:
• 3³ - 5 * 3² + 16 * 3 - 80 = 27 - 45 + 48 - 80 = -50 (не корень)
• Подставим x = -2:
• (-2)³ - 5 * (-2)² + 16 * (-2) - 80 = -8 - 20 - 32 - 80 = -140 (не корень)

Мы нашли один корень: x = 5. Теперь, чтобы найти остальные корни, мы можем разделить исходное уравнение на (x - 5) с помощью деления многочленов.

Шаг 3: Деление многочленов

Разделим х³ - 5x² + 16x - 80 на (x - 5). После деления мы получим:

• х² + 0x + 16 = 0

Теперь решим уравнение х² + 16 = 0:

• х² = -16
• х = ±4i

Таким образом, у нас есть три корня: один действительный x = 5 и два комплексных корня x = 4i и x = -4i.

Шаг 4: Определение меньшего корня

Из всех корней, которые мы нашли, единственный действительный корень - это 5. Комплексные корни не сравниваются с действительными числами в контексте "меньший" или "больший". Таким образом, меньшим корнем будет:

• 5