Как решить уравнение: (корень из 2 - 1)^x + (корень из 2 + 1)^x - 2 = 0, где x - это степень?

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией решение уравнения алгебра 11 класс корень из 2 степень x уравнение с корнями Новый

Для решения уравнения (корень из 2 - 1)^x + (корень из 2 + 1)^x - 2 = 0, начнем с упрощения выражения.

Обозначим:

• a = корень из 2 - 1
• b = корень из 2 + 1

Теперь у нас есть уравнение:

a^x + b^x - 2 = 0.

Мы можем переписать его как:

a^x + b^x = 2.

Теперь давайте рассмотрим значения a и b:

• a = корень из 2 - 1 ≈ 0.414
• b = корень из 2 + 1 ≈ 2.414

Теперь заметим, что a < 1 и b > 1. Это важно, так как при увеличении x:

• a^x будет стремиться к 0 при x → ∞
• b^x будет стремиться к ∞ при x → ∞

Теперь рассмотрим конкретные значения x:

1. Когда x = 0:
• a^0 + b^0 = 1 + 1 = 2. Уравнение выполняется.
2. Когда x = 1:
• a^1 + b^1 = (корень из 2 - 1) + (корень из 2 + 1) = 2 корня из 2. Это больше 2.
3. Когда x = 2:
• a^2 + b^2 = (корень из 2 - 1)^2 + (корень из 2 + 1)^2.
• Вычислим: (корень из 2 - 1)^2 = 2 - 2 корня из 2 + 1 = 3 - 2 корня из 2.
• (корень из 2 + 1)^2 = 2 + 2 корня из 2 + 1 = 3 + 2 корня из 2.
• Сложим: (3 - 2 корня из 2) + (3 + 2 корня из 2) = 6.
• Это больше 2.

Теперь мы видим, что при x = 0 уравнение выполняется, а при x > 0 оно становится больше 2. Таким образом, у нас есть только одно решение:

x = 0.

Это и есть ответ на данное уравнение.