Как решить уравнение log3½(x-2)log5x=2log3(x-2)?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс логарифмы log3 log5 уравнение с логарифмами математические задачи алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения log3½(x-2)log5x=2log3(x-2) мы будем использовать свойства логарифмов и шаг за шагом преобразуем уравнение.

1. Перепишем уравнение:

   У нас есть два логарифма: log3½(x-2) и log5x. Начнем с их преобразования.

2. Используем свойства логарифмов:
   • log3½(x-2) = (1/2) * log3(x-2) (по свойству логарифма, что loga(b^k) = k * loga(b)).
   • Таким образом, уравнение можно переписать как:

   (1/2) * log3(x-2) * log5(x) = 2 * log3(x-2)

3. Упростим уравнение:

   Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

   log3(x-2) * log5(x) = 4 * log3(x-2).

4. Переносим все на одну сторону:

   log3(x-2) * log5(x) - 4 * log3(x-2) = 0.

   Теперь можно вынести общий множитель:

   log3(x-2) * (log5(x) - 4) = 0.

5. Решаем полученные уравнения:
   • Первое уравнение: log3(x-2) = 0.

   Это означает, что x - 2 = 3^0 = 1, отсюда x = 3.

   • Второе уравнение: log5(x) - 4 = 0.

   Это означает, что log5(x) = 4, следовательно, x = 5^4 = 625.

6. Проверяем найденные корни:
   • Для x = 3: log3(3-2) = log3(1) = 0, что подходит.
   • Для x = 625: log3(625-2) = log3(623), значение логарифма подходит, так как оно определено.

Ответ: Уравнение имеет два решения: x = 3 и x = 625.