Чтобы решить уравнение (log₅ x)² − log₅ x − 2 = 0, начнем с того, что сделаем замену переменной. Пусть:

y = log₅ x

Тогда наше уравнение можно переписать в следующем виде:

y² - y - 2 = 0

Теперь это квадратное уравнение, и мы можем решить его с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = -1
• c = -2

Теперь подставим эти значения в формулу:

y = (1 ± √((-1)² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1)

Сначала вычислим дискриминант:

(-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

y = (1 ± √9) / 2

Так как √9 = 3, то у нас получается два корня:

y₁ = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2

y₂ = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь у нас есть два значения для y:

• y₁ = 2
• y₂ = -1

Теперь вернемся к нашей замене переменной. Мы знаем, что:

y = log₅ x

Подставляем значения y обратно:

1. log₅ x = 2

2. log₅ x = -1

Решим первое уравнение:

log₅ x = 2

Это означает, что x = 5² = 25.

Теперь решим второе уравнение:

log₅ x = -1

Это означает, что x = 5^(-1) = 1/5.

Таким образом, у нас есть два решения:

• x₁ = 25
• x₂ = 1/5

Ответ: x = 25 и x = 1/5.

 (log₅ x)² − log₅ x − 2 = 0?

введем новую переменную

log₅ x=t

t^2-t-2=0

решим квадратное уравнение 

t1=2  log₅ x=2;    x1=5^2=25

t2=-1  log₅ x=-1   x2=5^(-1)=1/5