Как решить уравнение: sin^4 2x + cos^4 2x = 5/8?

Укажите, сколько корней (в градусах) находится на промежутке от 0 до 180 градусов.

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения sin^4 2x cos^4 2x количество корней промежуток 0 до 180 алгебра 11 класс Новый

Для решения уравнения sin^4(2x) + cos^4(2x) = 5/8, начнем с упрощения левой части уравнения.

Мы знаем, что:

• sin^4(a) + cos^4(a) = (sin^2(a) + cos^2(a))^2 - 2sin^2(a)cos^2(a)
• Поскольку sin^2(a) + cos^2(a) = 1, то:
• sin^4(a) + cos^4(a) = 1 - 2sin^2(a)cos^2(a)

Теперь можем подставить это в наше уравнение:

1 - 2sin^2(2x)cos^2(2x) = 5/8

Теперь перенесем 5/8 на левую сторону:

1 - 5/8 = 2sin^2(2x)cos^2(2x

3/8 = 2sin^2(2x)cos^2(2x)

Далее, используем идентичность sin(2a) = 2sin(a)cos(a), чтобы выразить sin^2(2x):

sin^2(2x) = 4sin^2(x)cos^2(x)

Теперь, подставим sin^2(2x) и cos^2(2x):

2(4sin^2(x)cos^2(x))(1 - 4sin^2(x)cos^2(x)) = 3/8

Это уравнение можно решить, введя новую переменную:

y = sin^2(x)cos^2(x)

Тогда у нас будет:

8y(1 - 4y) = 3

8y - 32y^2 = 3

32y^2 - 8y + 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 32 * 3 = 64 - 384 = -320

Дискриминант отрицательный, что означает, что у уравнения нет действительных корней. Это говорит о том, что уравнение sin^4(2x) + cos^4(2x) = 5/8 не имеет решений.

Таким образом, на промежутке от 0 до 180 градусов у данного уравнения нет корней.

Ответ: 0 корней на промежутке от 0 до 180 градусов.