Как решить уравнение sin2x + tgx = 2?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций решить уравнение sin2x tgx алгебра математика уравнения Тригонометрия решение уравнений Новый

Чтобы решить уравнение sin(2x) + tg(x) = 2, мы можем следовать нескольким шагам. Давайте разберем это уравнение по частям.

Шаг 1: Преобразование тригонометрических функций

• Вспомним, что sin(2x) можно выразить через sin(x) и cos(x) по формуле: sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
• Также вспомним, что tg(x) = sin(x)/cos(x).

Подставим эти выражения в уравнение:

2sin(x)cos(x) + sin(x)/cos(x) = 2

Шаг 2: Умножение на cos(x)

Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на cos(x) (при условии, что cos(x) ≠ 0):

2sin(x)cos^2(x) + sin(x) = 2cos(x)

Шаг 3: Перенос всех членов в одну сторону

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

2sin(x)cos^2(x) + sin(x) - 2cos(x) = 0

Шаг 4: Вынесение общего множителя

Теперь можно вынести sin(x) за скобки:

sin(x)(2cos^2(x) + 1) - 2cos(x) = 0

Шаг 5: Решение уравнения

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это значит, что хотя бы один из множителей равен нулю:

1. sin(x) = 0
2. 2cos^2(x) + 1 - 2cos(x) = 0

Решение первого уравнения:

sin(x) = 0 дает нам:

x = kπ, где k — целое число.

Решение второго уравнения:

Решим квадратное уравнение:

2cos^2(x) - 2cos(x) + 1 = 0

Дискриминант D = (-2)^2 - 4 * 2 * 1 = 4 - 8 = -4. Поскольку дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней.

Итог:

Таким образом, единственным решением уравнения sin(2x) + tg(x) = 2 является:

x = kπ, где k — целое число.