Как решить уравнение: |x^2 + 4x + 2| = x + 2?

Алгебра 11 класс Модульные уравнения решение уравнения алгебра 11 класс модуль уравнения квадратное уравнение математические методы Новый

Чтобы решить уравнение |x^2 + 4x + 2| = x + 2, начнем с того, что мы должны рассмотреть два случая, так как у нас есть модуль. Модуль выражения принимает два значения: положительное и отрицательное. Таким образом, мы можем записать два отдельных уравнения.

1. Первый случай: x^2 + 4x + 2 = x + 2

В этом случае мы можем упростить уравнение:

• Переносим все члены в одну сторону: x^2 + 4x + 2 - x - 2 = 0
• Упрощаем: x^2 + 3x = 0
• Факторизуем: x(x + 3) = 0
• Находим корни: x = 0 или x + 3 = 0, откуда x = -3.

Таким образом, из первого случая мы получили два решения: x = 0 и x = -3.

2. Второй случай: x^2 + 4x + 2 = -(x + 2)

В этом случае мы также упростим уравнение:

• Переносим все члены в одну сторону: x^2 + 4x + 2 + x + 2 = 0
• Упрощаем: x^2 + 5x + 4 = 0
• Факторизуем: (x + 4)(x + 1) = 0
• Находим корни: x + 4 = 0, откуда x = -4; x + 1 = 0, откуда x = -1.

Таким образом, из второго случая мы получили два решения: x = -4 и x = -1.

Теперь у нас есть четыре потенциальных решения: x = 0, x = -3, x = -4, x = -1. Но нам нужно проверить каждое из них, чтобы убедиться, что они удовлетворяют исходному уравнению с модулем.

1. Для x = 0: |0^2 + 4*0 + 2| = |2| = 2 и 0 + 2 = 2. Решение верно.
2. Для x = -3: |-3^2 + 4*(-3) + 2| = |9 - 12 + 2| = |-1| = 1 и -3 + 2 = -1. Решение неверно.
3. Для x = -4: |-4^2 + 4*(-4) + 2| = |16 - 16 + 2| = |2| = 2 и -4 + 2 = -2. Решение неверно.
4. Для x = -1: |-1^2 + 4*(-1) + 2| = |1 - 4 + 2| = |-1| = 1 и -1 + 2 = 1. Решение верно.

Таким образом, окончательные решения нашего уравнения: x = 0 и x = -1.