Как решить уравнение: X^3 + x - 2 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения третьей степени уравнение решение уравнения алгебра 11 класс X^3 + x - 2 = 0 корни уравнения методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение X^3 + x - 2 = 0, мы можем использовать несколько методов, таких как графический метод, метод подбора корней или численные методы. Давайте рассмотрим метод подбора корней и метод Ньютона.

Шаг 1: Поиск возможных рациональных корней

Сначала попробуем найти рациональные корни уравнения с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни можно найти, подставляя делители свободного члена (в данном случае -2) в уравнение.

• Делители -2: ±1, ±2

Шаг 2: Подбор корней

Теперь подставим эти значения в уравнение:

• Для X = 1:

1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 (корень найден)

• Для X = -1:

(-1)^3 + (-1) - 2 = -1 - 1 - 2 = -4 (не корень)

• Для X = 2:

2^3 + 2 - 2 = 8 + 2 - 2 = 8 (не корень)

• Для X = -2:

(-2)^3 + (-2) - 2 = -8 - 2 - 2 = -12 (не корень)

Мы нашли один корень: X = 1.

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь, когда мы знаем один корень, мы можем разделить исходный многочлен X^3 + X - 2 на (X - 1) с помощью деления многочленов.

При делении получаем:

• X^3 + X - 2 = (X - 1)(X^2 + X + 2)

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение X^2 + X + 2 = 0. Для этого используем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * 2 = 1 - 8 = -7

Поскольку дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Шаг 5: Заключение

Таким образом, у уравнения X^3 + X - 2 = 0 есть один действительный корень X = 1 и два комплексных корня, которые можно найти с помощью формулы корней для квадратного уравнения:

• X = (-1 ± √(-7)) / 2

Итак, окончательный ответ:

• Действительный корень: X = 1
• Комплексные корни: X = (-1 + √7i) / 2 и X = (-1 - √7i) / 2