Как решить уравнение: (x²+5x)²-4(x²+5x)-12=0?

Алгебра 11 класс Уравнения с переменной в степени решение уравнения алгебра 11 класс квадратное уравнение методы решения математические задачи Новый

Для решения уравнения (x²+5x)²-4(x²+5x)-12=0, начнем с упрощения выражения. Обозначим y = x² + 5x. Тогда уравнение можно переписать в более простой форме:

Шаг 1: Замена переменной

Подставляем y вместо (x² + 5x):

y² - 4y - 12 = 0

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь мы имеем стандартное квадратное уравнение. Для его решения используем формулу корней:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = -4, c = -12.

Шаг 3: Подставляем значения

1. Вычисляем дискриминант:
• D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64
2. Теперь подставим D в формулу корней:
• y = (4 ± √64) / 2 = (4 ± 8) / 2

Шаг 4: Находим корни

1. Первый корень:
• y₁ = (4 + 8) / 2 = 12 / 2 = 6
2. Второй корень:
• y₂ = (4 - 8) / 2 = -4 / 2 = -2

Шаг 5: Возвращаемся к переменной x

Теперь нам нужно решить два уравнения:

1. y₁ = 6:
• x² + 5x = 6
• x² + 5x - 6 = 0
2. y₂ = -2:
• x² + 5x = -2
• x² + 5x + 2 = 0

Шаг 6: Решаем первое уравнение

Для x² + 5x - 6 = 0 используем ту же формулу:

• a = 1, b = 5, c = -6
• D = 5² - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49
• x = (-5 ± √49) / 2 = (-5 ± 7) / 2

Находим корни:

• x₁ = (2) / 2 = 1
• x₂ = (-12) / 2 = -6

Шаг 7: Решаем второе уравнение

Теперь решим x² + 5x + 2 = 0:

• a = 1, b = 5, c = 2
• D = 5² - 4 * 1 * 2 = 25 - 8 = 17
• x = (-5 ± √17) / 2

Корни будут:

• x₃ = (-5 + √17) / 2
• x₄ = (-5 - √17) / 2

Шаг 8: Итоговые корни

Таким образом, у нас есть четыре корня уравнения:

• x₁ = 1
• x₂ = -6
• x₃ = (-5 + √17) / 2
• x₄ = (-5 - √17) / 2

Это и есть все решения исходного уравнения. Если у вас есть вопросы или нужны дополнительные пояснения, не стесняйтесь спрашивать!