Как решить уравнение: x² - 8x - 2√(x² - 8x) - 3 = 0?

Алгебра 11 класс Квадратные уравнения решение уравнения алгебра 11 класс квадратное уравнение методы решения уравнений алгебраические выражения

Чтобы решить уравнение x² - 8x - 2√(x² - 8x) - 3 = 0, начнем с того, что упростим его. Обозначим t = √(x² - 8x). Тогда t² = x² - 8x. Подставим это в уравнение:

Теперь у нас получится:

x² - 8x - 2t - 3 = 0.

Так как t = √(x² - 8x), мы можем выразить x² - 8x через t:

t² = x² - 8x, следовательно, x² - 8x = t².

Теперь подставим это в уравнение:

t² - 2t - 3 = 0.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно t. Чтобы решить его, воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

Формула:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -3.

Подставляем значения a, b и c:

1. Находим дискриминант: D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.
2. Теперь находим корни: t = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2.
3. Таким образом, t1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3 и t2 = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1.

Так как t = √(x² - 8x), и корень не может быть отрицательным, мы оставляем только t1 = 3.

Теперь подставим t обратно в уравнение:

√(x² - 8x) = 3.

Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

x² - 8x = 9.

Теперь перенесем все в одну сторону:

x² - 8x - 9 = 0.

Решим это квадратное уравнение снова, используя ту же формулу:

Формула:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -8, c = -9.

Находим дискриминант: D = (-8)² - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100.

Теперь находим корни:

1. x1 = (8 + √100) / 2 = (8 + 10) / 2 = 18 / 2 = 9.
2. x2 = (8 - √100) / 2 = (8 - 10) / 2 = -2 / 2 = -1.

Теперь у нас есть два возможных корня: x1 = 9 и x2 = -1.

Проверим, являются ли они корнями исходного уравнения:

• Для x = 9: x² - 8x = 81 - 72 = 9, √(9) = 3. Уравнение выполняется.
• Для x = -1: x² - 8x = 1 + 8 = 9, √(9) = 3. Уравнение также выполняется.

Таким образом, окончательные решения уравнения x² - 8x - 2√(x² - 8x) - 3 = 0:

Ответ: x = 9 и x = -1.

Для решения уравнения x² - 8x - 2√(x² - 8x) - 3 = 0, начнем с упрощения выражения и введения новых переменных.

Обозначим:

• y = x² - 8x

Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

• y - 2√y - 3 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно y. Для его решения, сначала выразим √y:

• 2√y = y - 3

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

• (2√y)² = (y - 3)²

Это приводит к следующему уравнению:

• 4y = y² - 6y + 9

Переносим все члены в одну сторону:

• y² - 10y + 9 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-10)² - 4*1*9 = 100 - 36 = 64

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня:

• y₁ = (10 + √64) / 2 = (10 + 8) / 2 = 9
• y₂ = (10 - √64) / 2 = (10 - 8) / 2 = 1

Теперь вернемся к переменной x, подставляя найденные значения y:

• Для y₁ = 9:
1. x² - 8x - 9 = 0
2. Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
• D = (-8)² - 4*1*(-9) = 64 + 36 = 100
3. x₁ = (8 + √100) / 2 = (8 + 10) / 2 = 9
4. x₂ = (8 - √100) / 2 = (8 - 10) / 2 = -1
• Для y₂ = 1:
1. x² - 8x - 1 = 0
2. Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
• D = (-8)² - 4*1*(-1) = 64 + 4 = 68
3. x₃ = (8 + √68) / 2 = (8 + 2√17) / 2 = 4 + √17
4. x₄ = (8 - √68) / 2 = (8 - 2√17) / 2 = 4 - √17

Таким образом, у нас есть четыре решения для уравнения:

• x₁ = 9
• x₂ = -1
• x₃ = 4 + √17
• x₄ = 4 - √17

Необходимо проверить каждое найденное значение на соответствие исходному уравнению, так как при возведении в квадрат могли появиться extraneous solutions (лишь кажущиеся решения).

Таким образом, уравнение x² - 8x - 2√(x² - 8x) - 3 = 0 имеет решения:

• x = 9
• x = -1
• x = 4 + √17
• x = 4 - √17