Чтобы решить уравнение X² - 8x - 2√(x² - 8x) = 3, давайте следовать поэтапно:

Перепишем уравнение так, чтобы одна сторона была равна нулю:

X² - 8x - 2√(x² - 8x) - 3 = 0.

Обозначим y = x² - 8x. Тогда уравнение примет вид:

y - 2√y - 3 = 0.

Переносим все, кроме корня, на другую сторону:

2√y = y - 3.

Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны в квадрат:

(2√y)² = (y - 3)².

Это дает нам:

4y = y² - 6y + 9.

Переносим все члены на одну сторону:

y² - 10y + 9 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение y² - 10y + 9 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-10)² - 4*1*9 = 100 - 36 = 64.
• Корни уравнения находятся по формуле: y = ( -b ± √D ) / 2a.

Подставляем значения:

• y₁ = (10 + 8) / 2 = 9,
• y₂ = (10 - 8) / 2 = 1.

Теперь нам нужно вернуться к переменной x, используя y = x² - 8x:

• Для y₁ = 9:

x² - 8x - 9 = 0.

Решаем это уравнение:

• D = (-8)² - 4*1*(-9) = 64 + 36 = 100.
• x₁ = (8 + 10) / 2 = 9,
• x₂ = (8 - 10) / 2 = -1.
• Для y₂ = 1:

x² - 8x - 1 = 0.

Решаем это уравнение:

• D = (-8)² - 4*1*(-1) = 64 + 4 = 68.
• x₁ = (8 + √68) / 2,
• x₂ = (8 - √68) / 2.

Не забудьте проверить все найденные корни в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они не приводят к отрицательному значению под корнем.

Корни уравнения: x = 9, x = -1, x = (8 + √68)/2 и x = (8 - √68)/2. Проверка покажет, какие из них являются действительными решениями.