Давайте поочередно решим каждое из данных уравнений.

Это уравнение можно решить, заметив, что оно является разностью квадратов:

• Мы можем переписать уравнение как (x^3 - 1)(x^3 + 1) = 0.

Теперь мы можем решить каждое из множителей:

• Для x^3 - 1 = 0:
• x^3 = 1
• x = 1 (это один из корней).
• Также, x^3 - 1 можно разложить на множители: (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0.
• Решая x^2 + x + 1 = 0, находим корни с помощью дискриминанта: D = 1^2 - 4*1*1 = -3. Это уравнение не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни.
• Для x^3 + 1 = 0:
• x^3 = -1
• x = -1 (это один из корней).
• Также, x^3 + 1 можно разложить на множители: (x + 1)(x^2 - x + 1) = 0.
• Решая x^2 - x + 1 = 0, находим D = (-1)^2 - 4*1*1 = -3. Это также не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни.

Таким образом, корни уравнения x^6 - 1 = 0: x = 1, x = -1 и два комплексных корня от каждого из квадратных уравнений.

Это уравнение также можно решить, заметив, что это разность кубов:

• Мы можем переписать его как (3x - 1)(9x^2 + 3x + 1) = 0.

Теперь решим каждый из множителей:

• Для 3x - 1 = 0:
• 3x = 1
• x = 1/3.
• Для 9x^2 + 3x + 1 = 0:
• Находим дискриминант: D = 3^2 - 4*9*1 = 9 - 36 = -27. Это уравнение не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни.

Таким образом, корни уравнения 27x^3 - 1 = 0: x = 1/3 и два комплексных корня от квадратного уравнения.

Сначала упростим это уравнение:

• √(3x^2) = √3 * |x|. Поскольку мы не знаем, положительное или отрицательное x, мы будем рассматривать оба случая.

Далее, перепишем уравнение:

• √3 * |x| + 6x + 1 = 7 - x.

Теперь перенесем все на одну сторону:

• √3 * |x| + 6x + x + 1 - 7 = 0.
• √3 * |x| + 7x - 6 = 0.

Теперь рассмотрим два случая:

• Тогда |x| = x, и уравнение становится: √3 * x + 7x - 6 = 0.
• Соберем все с x: (√3 + 7)x - 6 = 0.
• Отсюда x = 6 / (√3 + 7).

• Тогда |x| = -x, и уравнение становится: -√3 * x + 7x - 6 = 0.
• Соберем все с x: (7 - √3)x - 6 = 0.
• Отсюда x = 6 / (7 - √3).

Теперь у нас есть два возможных решения для x в зависимости от знака. Это и есть ответ на данное уравнение.

Итак, мы решили все три уравнения. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!