Давайте упростим каждое из заданных выражений по очереди.

4) Упрощаем выражение: c^8 * корень восьмой степени из c^6, если c ≤ 0.

1. Сначала запишем корень восьмой степени из c^6 в виде степени: корень восьмой степени из c^6 = c^(6/8) = c^(3/4).
2. Теперь подставим это в исходное выражение: c^8 * c^(3/4).
3. При умножении степеней с одинаковым основанием мы складываем показатели: c^8 * c^(3/4) = c^(8 + 3/4).
4. Приведем 8 к общему знаменателю: 8 = 32/4, тогда 8 + 3/4 = 32/4 + 3/4 = 35/4.
5. Таким образом, выражение упрощается до: c^(35/4).

Однако, так как c ≤ 0, то c^(35/4) будет определено только для c = 0, так как корень четной степени (в данном случае 4) из отрицательных чисел не существует.

5) Упрощаем выражение: x^3 * y^7 * корень десятой степени из x^8 * y^12, если x < 0, y > 0.

1. Сначала запишем корень десятой степени из x^8 * y^12 в виде степени: корень десятой степени из x^8 * y^12 = (x^8 * y^12)^(1/10) = x^(8/10) * y^(12/10) = x^(4/5) * y^(6/5).
2. Теперь подставим это в исходное выражение: x^3 * y^7 * (x^(4/5) * y^(6/5).
3. При умножении степеней с одинаковым основанием мы снова складываем показатели: x^3 * x^(4/5) = x^(3 + 4/5) и y^7 * y^(6/5) = y^(7 + 6/5).
4. Приведем 3 к общему знаменателю: 3 = 15/5, тогда 3 + 4/5 = 15/5 + 4/5 = 19/5.
5. Для y: 7 = 35/5, тогда 7 + 6/5 = 35/5 + 6/5 = 41/5.

Таким образом, выражение упрощается до: x^(19/5) * y^(41/5).

Важно помнить, что x < 0 и y > 0, что означает, что x^(19/5) будет определено, так как 19/5 - нечетная степень, а y^(41/5) будет положительным, так как y > 0.

Итак, окончательные упрощенные выражения:

• Для 4) c^(35/4), но c должно быть равно 0.
• Для 5) x^(19/5) * y^(41/5).