Давайте подробно разберем каждое из предложенных выражений и упростим их шаг за шагом.

1. Упростите выражение: a^(1/9) · ⁿ√[6]{a · ⁿ√[3]{a}}

1. Сначала преобразуем корни в степени. Напомним, что n-ый корень из x можно записать как x^(1/n).
2. Запишем ⁿ√[6]{a} как a^(1/6) и ⁿ√[3]{a} как a^(1/3).
3. Таким образом, выражение становится: a^(1/9) · a^(1/6) · a^(1/3).
4. Теперь мы можем сложить показатели степени: 1/9 + 1/6 + 1/3.
5. Для сложения дробей найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 9, 6 и 3 — это 18.
6. Переписываем дроби: 1/9 = 2/18, 1/6 = 3/18, 1/3 = 6/18.
7. Сложим: 2/18 + 3/18 + 6/18 = 11/18.
8. Таким образом, итоговое выражение: a^(11/18).

2. Запишите в виде степени с рациональным показателем: y^(-4,7) : y^(-1,2) · ⁿ√[9]{y}

1. Сначала преобразуем корень: ⁿ√[9]{y} = y^(1/9).
2. Теперь подставим это в выражение: y^(-4,7) : y^(-1,2) · y^(1/9).
3. Запишем деление как вычитание показателей: y^(-4,7) · y^(1/9) · y^(1,2).
4. Теперь складываем показатели: -4,7 + 1/9 + 1,2.
5. Общий знаменатель для дробей 9 и 10 (1,2 = 12/10) будет 90.
6. Переписываем дроби: -4,7 = -423/90, 1/9 = 10/90, 1,2 = 12/10 = 108/90.
7. Сложим: -423/90 + 10/90 + 108/90 = -305/90.
8. Таким образом, итоговое выражение: y^(-305/90), что также можно записать как y^(-61/18).

3. Упростите выражение: (a^(4/3) · (a^(1/3) + a^(2/3))) / (a^(1/4) · (a^(3/4) + a^(-1/4)))

1. Сначала упростим числитель: a^(4/3) · (a^(1/3) + a^(2/3)) = a^(4/3) · a^(1/3) + a^(4/3) · a^(2/3).
2. Сложим показатели: a^(4/3 + 1/3) + a^(4/3 + 2/3) = a^(5/3) + a^(6/3) = a^(5/3) + a^(2).
3. Теперь упростим знаменатель: a^(1/4) · (a^(3/4) + a^(-1/4)) = a^(1/4) · a^(3/4) + a^(1/4) · a^(-1/4).
4. Сложим показатели: a^(1/4 + 3/4) + a^(1/4 - 1/4) = a^(1) + a^(0) = a + 1.
5. Теперь подставим числитель и знаменатель: (a^(5/3) + a^(2)) / (a + 1).
6. На этом этапе можно оставить выражение в таком виде, если не требуется дальнейшее упрощение.

4. Упростите выражение: ((a - b) / (√a + √b))^3 + 2a^(3/2) + b^(3/2)

1. Для начала упростим дробь: (a - b) / (√a + √b).
2. Умножим числитель и знаменатель на (√a - √b) для рационализации: ((a - b)(√a - √b)) / ((√a + √b)(√a - √b)) = (a - b)(√a - √b) / (a - b) = √a - √b.
3. Теперь у нас есть выражение: (√a - √b)^3 + 2a^(3/2) + b^(3/2).
4. Разложим (√a - √b)^3 по формуле: (x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.
5. Подставим x = √a и y = √b: (√a)^3 - 3(√a)^2(√b) + 3(√a)(√b)^2 - (√b)^3.
6. Это дает: a√a - 3ab + 3b√a - b√b.
7. Теперь добавим 2a^(3/2) и b^(3/2): a√a - 3ab + 3b√a + 2a√a - b√b.
8. Соберем подобные слагаемые: (3a + 2a)√a + 3b√a - 3ab - b√b = 5a√a + 3b√a - 3ab - b√b.
9. Итак, итоговое выражение: 5a√a + 3b√a - 3ab - b√b.

Таким образом, мы упростили все предложенные выражения. Если есть вопросы по каждому из шагов, пожалуйста, задавайте!