Чтобы вычислить производную функции f(x) = -1/3 * tg(3x) и затем найти f`(π/9), следуем следующим шагам:

Для нахождения производной функции, воспользуемся правилом производной для тангенса. Производная функции tg(u) равна секанс в квадрате u, умноженная на производную u по x. В нашем случае u = 3x.

• Сначала найдем производную от -1/3 * tg(3x):
• f`(x) = -1/3 * (d(tg(3x))/dx)
• Используем правило цепочки:
• (d(tg(3x))/dx) = sec^2(3x) * (d(3x)/dx) = sec^2(3x) * 3
• Таким образом, f`(x) = -1/3 * (3 * sec^2(3x)) = -sec^2(3x)

Теперь, когда мы нашли производную f`(x), подставим x = π/9:

• f`(π/9) = -sec^2(3 * (π/9))
• Сначала вычислим 3 * (π/9): 3 * (π/9) = π/3.
• Теперь подставим это значение в производную:
• f`(π/9) = -sec^2(π/3).

Чтобы найти sec^2(π/3), сначала найдем cos(π/3):

• cos(π/3) = 1/2.
• Следовательно, sec(π/3) = 1/cos(π/3) = 1/(1/2) = 2.
• Теперь найдем sec^2(π/3): sec^2(π/3) = (sec(π/3))^2 = 2^2 = 4.

Теперь подставим найденное значение:

• f`(π/9) = -sec^2(π/3) = -4.

Ответ: f`(π/9) = -4.