Для вычисления интеграла S(8/cos²x + 1/x + 4)dx, мы можем разложить его на несколько частей, так как интеграл суммы равен сумме интегралов. Давайте рассмотрим каждую часть отдельно.

1. Интеграл от 8/cos²x:

   Интеграл 8/cos²x можно переписать как 8 * ∫sec²x dx. Мы знаем, что интеграл sec²x равен tan(x). Таким образом,:

   ∫(8/cos²x) dx = 8 * tan(x) + C₁, где C₁ - произвольная константа интегрирования.

2. Интеграл от 1/x:

   Интеграл 1/x равен ln|x|. Таким образом,:

   ∫(1/x) dx = ln|x| + C₂, где C₂ - произвольная константа интегрирования.

3. Интеграл от 4:

   Интеграл от константы 4 равен 4x. Таким образом,:

   ∫4 dx = 4x + C₃, где C₃ - произвольная константа интегрирования.

Теперь мы можем объединить все найденные интегралы:

S(8/cos²x + 1/x + 4)dx = 8 * tan(x) + ln|x| + 4x + C, где C = C₁ + C₂ + C₃ - общая произвольная константа интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ на интеграл S(8/cos²x + 1/x + 4)dx:

8 * tan(x) + ln|x| + 4x + C