Как вычислить определённый интеграл:

⁹₄∫ (2 + 10/√x) dx?

Алгебра 11 класс Определенные интегралы определенный интеграл вычисление интеграла алгебра 11 класс интеграл от функции интегрирование математический анализ методы интегрирования Новый

Чтобы вычислить определённый интеграл ⁹₄∫ (2 + 10/√x) dx, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберём их по порядку.

Шаг 1: Найдём неопределённый интеграл

Сначала вычислим неопределённый интеграл функции (2 + 10/√x). Мы можем разделить этот интеграл на две части:

• ∫ 2 dx
• ∫ 10/√x dx

Теперь посчитаем каждый из этих интегралов:

1. ∫ 2 dx = 2x + C, где C - произвольная константа.
2. Для ∫ 10/√x dx воспользуемся тем, что √x = x^(1/2), тогда 1/√x = x^(-1/2). Таким образом, мы можем записать:
   • ∫ 10/√x dx = ∫ 10x^(-1/2) dx.
   Теперь применим правило интегрирования для степенной функции:
   • ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, для n ≠ -1.
   В нашем случае n = -1/2, поэтому:
3. ∫ 10x^(-1/2) dx = 10 * (x^(1/2))/(1/2) = 20√x + C.

Теперь объединим результаты:

∫ (2 + 10/√x) dx = 2x + 20√x + C.

Шаг 2: Вычислим определённый интеграл

Теперь, когда мы нашли неопределённый интеграл, можем вычислить определённый интеграл от 94 до 9:

⁹₄∫ (2 + 10/√x) dx = [2x + 20√x] от 9 до 94.

Теперь подставим верхний и нижний пределы:

1. Сначала подставим верхний предел (x = 94):
   • 2 * 94 + 20√94.
2. Теперь подставим нижний предел (x = 9):
   • 2 * 9 + 20√9 = 2 * 9 + 20 * 3 = 18 + 60 = 78.

Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

Итак, получаем:

(2 * 94 + 20√94) - 78.

Шаг 3: Упростим результат

Теперь нам нужно просто подставить значения и посчитать. Сначала вычислим 2 * 94:

2 * 94 = 188.

Теперь подставим это значение в формулу:

188 + 20√94 - 78 = 110 + 20√94.

Таким образом, окончательный ответ на определённый интеграл ⁹₄∫ (2 + 10/√x) dx будет:

110 + 20√94.