Как вычислить определенный интеграл функции 4x^3 - 4x - 2 на интервале от 1 до 3?

Алгебра 11 класс Определенные интегралы определенный интеграл вычисление интеграла интеграл функции алгебра 11 класс интервал от 1 до 3 Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл функции 4x^3 - 4x - 2 на интервале от 1 до 3, следуем следующим шагам:

1. Найдите неопределенный интеграл функции.

   Сначала нам нужно найти первообразную для функции 4x^3 - 4x - 2. Для этого используем правило интегрирования для полиномов:

   • Интеграл x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная константа.

   Применяя это правило к каждому члену функции:

   • Интеграл 4x^3 dx = 4 * (x^(3+1))/(3+1) = 4 * (x^4)/4 = x^4.
   • Интеграл -4x dx = -4 * (x^(1+1))/(1+1) = -4 * (x^2)/2 = -2x^2.
   • Интеграл -2 dx = -2x.

   Теперь складываем все результаты:

   ∫(4x^3 - 4x - 2) dx = x^4 - 2x^2 - 2x + C.

2. Вычислите определенный интеграл.

   Теперь нам нужно вычислить определенный интеграл от 1 до 3. Для этого используем формулу:

   ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a),

   где F(x) - первообразная функции f(x).

   В нашем случае a = 1, b = 3. Подставляем значения в первообразную:

   • F(3) = 3^4 - 2*(3^2) - 2*(3) = 81 - 18 - 6 = 57.
   • F(1) = 1^4 - 2*(1^2) - 2*(1) = 1 - 2 - 2 = -3.

   Теперь находим разность:

   ∫[1, 3] (4x^3 - 4x - 2) dx = F(3) - F(1) = 57 - (-3) = 57 + 3 = 60.

Ответ: Определенный интеграл функции 4x^3 - 4x - 2 на интервале от 1 до 3 равен 60.