Как вычислить производную для данных функций: y=√(x^2+1/x), Y=(cos(3x)+6)^2 и Y=(x^3-4x^2)^16?

Алгебра 11 класс Производные функций вычисление производной функции алгебра производная y=√(x^2+1/x) Y=(cos(3x)+6)^2 Y=(x^3-4x^2)^16 Новый

Чтобы вычислить производные данных функций, мы будем использовать основные правила дифференцирования, такие как правило суммы, правило произведения, правило частного и цепное правило. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Функция: y = √(x^2 + 1/x)

Для начала преобразуем функцию:

• y = (x^2 + 1/x)^(1/2)

Теперь применим правило цепочки для нахождения производной:

• dy/dx = (1/2)(x^2 + 1/x)^(-1/2) * d/dx(x^2 + 1/x)

Теперь найдем производную внутренней функции:

• d/dx(x^2) = 2x
• d/dx(1/x) = -1/x^2

Складываем эти производные:

• d/dx(x^2 + 1/x) = 2x - 1/x^2

Теперь подставим это обратно в формулу для dy/dx:

• dy/dx = (1/2)(x^2 + 1/x)^(-1/2) * (2x - 1/x^2)

2. Функция: Y = (cos(3x) + 6)^2

Здесь также используем правило цепочки:

• Y = (u)^2, где u = cos(3x) + 6

Теперь находим производную:

• dY/dx = 2u * du/dx

Теперь найдем du/dx:

• du/dx = d/dx(cos(3x)) + d/dx(6)
• d/dx(cos(3x)) = -3sin(3x) (по цепному правилу)
• d/dx(6) = 0

Таким образом:

• du/dx = -3sin(3x)

Теперь подставим это в формулу для dY/dx:

• dY/dx = 2(cos(3x) + 6)(-3sin(3x))

3. Функция: Y = (x^3 - 4x^2)^16

Снова используем правило цепочки:

• Y = (v)^16, где v = x^3 - 4x^2

Теперь находим производную:

• dY/dx = 16v^15 * dv/dx

Теперь найдем dv/dx:

• dv/dx = d/dx(x^3) - d/dx(4x^2)
• d/dx(x^3) = 3x^2
• d/dx(4x^2) = 8x

Таким образом:

• dv/dx = 3x^2 - 8x

Теперь подставим это в формулу для dY/dx:

• dY/dx = 16(x^3 - 4x^2)^15 * (3x^2 - 8x)

Итак, мы нашли производные для всех трех функций:

• dy/dx = (1/2)(x^2 + 1/x)^(-1/2) * (2x - 1/x^2)
• dY/dx = 2(cos(3x) + 6)(-3sin(3x))
• dY/dx = 16(x^3 - 4x^2)^15 * (3x^2 - 8x)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!