Чтобы вычислить производные данных функций, мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило цепи, производная синуса и производная дробной функции. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

Здесь мы применим правило цепи. Правило цепи гласит, что если у нас есть функция, которая является композицией двух функций, то производная этой функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции.

1. Обозначим внутреннюю функцию: u = 4x - 5.
2. Тогда f(x) = u^6.
3. Теперь найдем производные:
• Производная внешней функции: f'(u) = 6u^5.
• Производная внутренней функции: u' = 4.
4. Теперь применим правило цепи:
• f'(x) = f'(u) * u' = 6(4x - 5)^5 * 4.
5. Упрощаем: f'(x) = 24(4x - 5)^5.

Здесь мы также будем использовать правило дифференцирования для синуса и правило цепи.

1. Производная константы (1) равна 0.
2. Теперь найдем производную sin(4x):
• Производная sin(u) = cos(u) * u', где u = 4x.
• u' = 4, следовательно, производная sin(4x) = cos(4x) * 4.
3. Теперь подставим это в производную функции:
• f'(x) = 0 - 4cos(4x) = -4cos(4x).

Эта функция представлена в виде дроби, и мы можем использовать правило дифференцирования для дробных функций. В данном случае мы можем использовать правило производной дроби.

1. Запишем функцию в виде: f(x) = 2 * (3x - 2)^(-5).
2. Теперь применим правило производной для степенной функции:
• f'(x) = 2 * (-5) * (3x - 2)^(-6) * (3x - 2)'.
• Производная (3x - 2)' = 3.
3. Теперь подставим это в производную:
• f'(x) = -10 * (3x - 2)^(-6) * 3.
4. Упрощаем: f'(x) = -30/(3x - 2)^6.

Итак, мы получили производные всех трех функций:

• f'(x) = 24(4x - 5)^5 для первой функции.
• f'(x) = -4cos(4x) для второй функции.
• f'(x) = -30/(3x - 2)^6 для третьей функции.