Как вычислить производную функции: 1/3 tg^3 2x - tg 2x + x - tg3?

Алгебра 11 класс Производные функций вычислить производную производная функции алгебра 11 класс tg 2x tg^3 2x математический анализ правила дифференцирования Новый

Чтобы вычислить производную функции f(x) = (1/3) * tg^3(2x) - tg(2x) + x - tg(3), мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило производной сложной функции и производная тригонометрических функций.

Шаг 1: Запишите функцию

Наша функция выглядит так:

f(x) = (1/3) * tg^3(2x) - tg(2x) + x - tg(3)

Шаг 2: Найдите производные каждого члена

• Первый член: (1/3) * tg^3(2x)

Для этого члена используем правило производной сложной функции и правило производной произведения:

1. Сначала найдём производную tg^3(2x):
2. Применяем правило производной степени: 3 * tg^2(2x) * (d/dx(tg(2x))).
3. Теперь нам нужно найти d/dx(tg(2x)). Используем правило производной tg(u), где u = 2x:
4. d/dx(tg(2x)) = sec^2(2x) * (d/dx(2x)) = 2 * sec^2(2x).
5. Итак, производная первого члена будет: (1/3) * 3 * tg^2(2x) * (2 * sec^2(2x)) = 2 * tg^2(2x) * sec^2(2x).
• Второй член: -tg(2x)

Производная -tg(2x) будет:

1. -sec^2(2x) * (d/dx(2x)) = -2 * sec^2(2x).
• Третий член: +x

Производная x равна 1.

• Четвёртый член: -tg(3)

Так как tg(3) — это константа, производная будет равна 0.

Шаг 3: Сложите все производные

Теперь мы можем сложить все найденные производные:

f'(x) = 2 * tg^2(2x) * sec^2(2x) - 2 * sec^2(2x) + 1 + 0.

Шаг 4: Упростите, если возможно

Мы можем вынести 2 * sec^2(2x) за скобки:

f'(x) = 2 * sec^2(2x) * (tg^2(2x) - 1) + 1.

Итак, окончательная производная функции:

f'(x) = 2 * sec^2(2x) * (tg^2(2x) - 1) + 1.