Чтобы вычислить производную функции ctg^5(3x), мы будем использовать правило производной сложной функции и правило производной степенной функции. Давайте разберем шаги подробно.

1. Определим функцию:

   Наша функция имеет вид y = ctg^5(3x). Здесь мы видим, что это степень функции ctg(3x).

2. Применим правило производной степенной функции:

   Если u = ctg(3x), то y = u^5. Производная функции u^n по x равна n * u^(n-1) * (du/dx).

3. Найдем производную u = ctg(3x):

   Чтобы найти du/dx, мы используем производную котангенса:

   • Производная ctg(x) равна -csc^2(x).
   • Так как у нас ctg(3x), мы применяем правило цепочки: du/dx = -csc^2(3x) * (d/dx(3x)).
   • Здесь d/dx(3x) = 3, поэтому du/dx = -3 * csc^2(3x).
4. Теперь подставим все в формулу:

   Теперь мы можем найти dy/dx:

   • dy/dx = 5 * u^4 * (du/dx)
   • Подставляем u = ctg(3x) и du/dx = -3 * csc^2(3x):
   • dy/dx = 5 * (ctg(3x))^4 * (-3 * csc^2(3x)).
5. Упрощаем результат:

   Таким образом, окончательный ответ будет:

   dy/dx = -15 * (ctg(3x))^4 * csc^2(3x).

Итак, производная функции ctg^5(3x) равна -15 * (ctg(3x))^4 * csc^2(3x).