Как вычислить производную функции y = arcsin(lnx) / ln(arcsinx)?

Алгебра 11 класс Производные функций вычисление производной производная функции arcsin lnx LN arcsinx алгебра 11 класс Новый

Чтобы вычислить производную функции y = arcsin(ln(x)) / ln(arcsin(x)), нам нужно использовать правила дифференцирования, такие как правило частного и цепное правило. Давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Определение функции

У нас есть функция в виде дроби:

y = u / v, где:

• u = arcsin(ln(x))
• v = ln(arcsin(x))

Шаг 2: Применение правила частного

Правило частного для производной функции y = u/v гласит:

y' = (u'v - uv') / v²

Где u' и v' - это производные функций u и v соответственно.

Шаг 3: Вычисление производной u

Теперь найдем производную u = arcsin(ln(x)). Для этого используем цепное правило:

• Сначала найдем производную внешней функции arcsin(t), которая равна 1 / sqrt(1 - t²), где t = ln(x).
• Теперь найдем производную внутренней функции ln(x), которая равна 1/x.

Таким образом:

u' = (1 / sqrt(1 - (ln(x))²)) * (1/x) = 1 / (x * sqrt(1 - (ln(x))²))

Шаг 4: Вычисление производной v

Теперь найдем производную v = ln(arcsin(x)). Снова применим цепное правило:

• Производная ln(t) равна 1/t, где t = arcsin(x).
• Производная arcsin(x) равна 1 / sqrt(1 - x²).

Таким образом:

v' = (1 / arcsin(x)) * (1 / sqrt(1 - x²))

Шаг 5: Подстановка в формулу для y'

Теперь мы можем подставить u', v, u и v' в формулу для производной:

y' = (u'v - uv') / v²

Подставляем:

• u' = 1 / (x * sqrt(1 - (ln(x))²))
• v = ln(arcsin(x))
• u = arcsin(ln(x))
• v' = (1 / arcsin(x)) * (1 / sqrt(1 - x²))

Получаем:

y' = [(1 / (x * sqrt(1 - (ln(x))²))) * ln(arcsin(x)) - arcsin(ln(x)) * ((1 / arcsin(x)) * (1 / sqrt(1 - x²)))] / [ln(arcsin(x))]²

Шаг 6: Упрощение

Теперь, если возможно, упростите полученную формулу. Это может потребовать некоторого алгебраического манипулирования.

Итак, мы вычислили производную функции y. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше разъяснений по конкретным шагам, не стесняйтесь спрашивать!