Как вычислить производную функции y, которая представлена в виде y = x^2 * e^(2x)?

Алгебра 11 класс Производные функций вычисление производной производная функции алгебра 11 класс y = x^2 * e^(2x) правила дифференцирования Новый

Чтобы вычислить производную функции y = x^2 * e^(2x), мы будем использовать правило произведения. Правило произведения гласит, что если у нас есть две функции u(x) и v(x), то производная их произведения равна:

(u * v)' = u' * v + u * v'

В нашем случае:

• u(x) = x^2
• v(x) = e^(2x)

Теперь нам нужно найти производные u и v:

1. Находим u'(x):

Производная x^2 равна 2x, то есть:

u'(x) = 2x

2. Находим v'(x):

Для функции e^(2x) мы используем правило цепочки. Производная e^(kx) равна k * e^(kx), где k - константа. В нашем случае k = 2, поэтому:

v'(x) = 2 * e^(2x)

Теперь мы можем подставить u, u', v и v' в правило произведения:

y' = u' * v + u * v'

Подставляем найденные значения:

• u' = 2x
• v = e^(2x)
• u = x^2
• v' = 2 * e^(2x)

Таким образом, получаем:

y' = (2x) * (e^(2x)) + (x^2) * (2 * e^(2x))

Теперь можно упростить выражение:

y' = 2x * e^(2x) + 2x^2 * e^(2x)

Объединим подобные слагаемые:

y' = 2x * e^(2x) (1 + x)

Таким образом, производная функции y = x^2 * e^(2x) равна:

y' = 2x * e^(2x) (1 + x)