Как вычислить производную функции y, заданной формулой: y=1/4x^4-5x^2+2√(2x+5)?

Алгебра 11 класс Производные функций вычисление производной производная функции алгебра 11 класс формула производной производная многочлена Новый

Чтобы вычислить производную функции y, заданной формулой y = 1/4 * x^4 - 5 * x^2 + 2 * √(2x + 5), мы будем использовать правила дифференцирования. Давайте пройдемся по каждому члену функции и найдем его производную.

1. Первый член: 1/4 * x^4
   • Используем правило дифференцирования степенной функции: d/dx (x^n) = n * x^(n-1).
   • Для нашего члена n = 4, следовательно, производная будет: (1/4) * 4 * x^(4-1) = x^3.
2. Второй член: -5 * x^2
   • Используем то же правило: d/dx (x^n) = n * x^(n-1).
   • Здесь n = 2, поэтому производная будет: -5 * 2 * x^(2-1) = -10 * x.
3. Третий член: 2 * √(2x + 5)
   • Сначала перепишем корень в виде степени: √(2x + 5) = (2x + 5)^(1/2).
   • Теперь используем правило цепной производной: d/dx (f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x).
   • В нашем случае f(u) = u^(1/2), где u = 2x + 5. Найдем производную f'(u) = (1/2) * u^(-1/2) и g'(x) = 2.
   • Теперь подставим: d/dx (2 * (2x + 5)^(1/2)) = 2 * (1/2) * (2x + 5)^(-1/2) * 2 = (2x + 5)^(-1/2).

Теперь мы можем собрать все найденные производные вместе:

y' = x^3 - 10x + (2x + 5)^(-1/2).

Таким образом, производная функции y равна:

y' = x^3 - 10x + 1/√(2x + 5).