Для вычисления производной сложных функций, таких как произведение двух функций, мы используем правило производной произведения. Это правило гласит, что если у нас есть две функции u(x) и v(x),то производная их произведения u(x) * v(x) равна:

Теперь давайте применим это правило к вашим функциям.

1. Производная функции e^x * sin(x)

• Обозначим u(x) = e^x и v(x) = sin(x).
• Теперь найдем производные u' и v':
  • u' = (e^x)' = e^x (производная экспоненты).
  • v' = (sin(x))' = cos(x) (производная синуса).
• Теперь подставим в формулу: (e^x * sin(x))' = e^x * sin(x)' + e^x' * sin(x).
• Подставляя значения, получаем: (e^x * sin(x))' = e^x * cos(x) + e^x * sin(x).
• Можно вынести e^x за скобки: (e^x * sin(x))' = e^x * (cos(x) + sin(x)).

2. Производная функции 2^x * cos(x)

• Обозначим u(x) = 2^x и v(x) = cos(x).
• Теперь найдем производные u' и v':
  • u' = (2^x)' = 2^x * ln(2) (производная экспоненты с основанием 2).
  • v' = (cos(x))' = -sin(x) (производная косинуса).
• Теперь подставим в формулу: (2^x * cos(x))' = 2^x * cos(x)' + 2^x' * cos(x).
• Подставляя значения, получаем: (2^x * cos(x))' = 2^x * (-sin(x)) + 2^x * ln(2) * cos(x).
• Можно также вынести 2^x за скобки: (2^x * cos(x))' = 2^x * (ln(2) * cos(x) - sin(x)).

Таким образом, производные ваших функций равны:

• Для e^x * sin(x): e^x * (cos(x) + sin(x)).
• Для 2^x * cos(x): 2^x * (ln(2) * cos(x) - sin(x)).