Как вычислить вторую производную функции ln^3 x?

Алгебра 11 класс Производные функций вторая производная функция ln^3 x алгебра 11 класс производная функции Новый

Чтобы вычислить вторую производную функции ln^3(x), сначала найдем первую производную, а затем уже вторую. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем первую производную.

Функция ln^3(x) может быть записана как (ln(x))^3. Для нахождения производной мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (правило цепочки) и правилом произведения.

• Обозначим u = ln(x). Тогда y = u^3.
• Сначала найдем производную y' = 3u^2 * u', где u' = 1/x (производная ln(x)).

Теперь подставим u обратно:

• y' = 3(ln(x))^2 * (1/x)

Таким образом, первая производная функции ln^3(x) равна:

y' = 3(ln(x))^2 / x

Шаг 2: Найдем вторую производную.

Теперь, чтобы найти вторую производную, нам нужно продифференцировать первую производную y'.

• Для производной y' = 3(ln(x))^2 / x мы применим правило частного:

Если f(x) = 3(ln(x))^2 и g(x) = x, то:

• (f/g)' = (f'g - fg') / g^2

Нам нужно найти f' и g':

• f' = 6(ln(x))(1/x) = 6(ln(x))/x (по правилу цепочки)
• g' = 1

Теперь подставим в формулу:

• y'' = (6(ln(x))/x * x - 3(ln(x))^2 * 1) / x^2

Упрощаем:

• y'' = (6(ln(x)) - 3(ln(x))^2) / x^2

Таким образом, вторая производная функции ln^3(x) равна:

y'' = (6ln(x) - 3(ln(x))^2) / x^2

Это и есть ответ на ваш вопрос!