Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения y' = (1 + y²)/(1 + x²) с начальным условием y(0) = 1, мы начнем с поиска общего решения уравнения. Для этого используем метод разделения переменных. Следуем следующим шагам:

1. Перепишем уравнение, чтобы разделить переменные: dy/dx = (1 + y²)/(1 + x²).
2. Перепишем уравнение в форме, удобной для интегрирования: dy/(1 + y²) = dx/(1 + x²).
3. Интегрируем обе части уравнения. Интеграл от dy/(1 + y²) равен arctan(y), а интеграл от dx/(1 + x²) равен arctan(x). Таким образом, у нас получается:

arctan(y) = arctan(x) + C, где C - константа интегрирования.

4. Теперь применим начальное условие y(0) = 1. Подставим x = 0 и y = 1 в уравнение:

arctan(1) = arctan(0) + C.

5. Мы знаем, что arctan(1) = π/4 и arctan(0) = 0. Следовательно, уравнение принимает вид:

π/4 = 0 + C.

6. Решаем уравнение для C: C = π/4.
7. Таким образом, частное решение уравнения с данным начальным условием имеет вид:

arctan(y) = arctan(x) + π/4.

Это уравнение можно оставить в таком виде или выразить y через x, если требуется. Но в данной задаче нас интересовала форма C, которая равна π/4.