Чтобы определить количество корней уравнения x^3 - 3x^2 + 1 = 0, мы можем воспользоваться методом анализа функции и теорией о количестве корней полинома.

1. Определим функцию:

• Обозначим f(x) = x^3 - 3x^2 + 1.

2. Найдем производную функции:

• f'(x) = 3x^2 - 6 = 3(x^2 - 2).

3. Найдем критические точки:

• Решим уравнение f'(x) = 0:
• x^2 - 2 = 0, откуда x = ±√2.

4. Определим знаки производной:

• Для x < -√2, f'(x) > 0 (функция возрастает).
• Для -√2 < x < √2, f'(x) < 0 (функция убывает).
• Для x > √2, f'(x) > 0 (функция снова возрастает).

5. Анализ поведения функции:

• На интервале (-∞, -√2) функция возрастает.
• На интервале (-√2, √2) функция убывает.
• На интервале (√2, +∞) функция возрастает.

6. Найдем значения функции в критических точках:

• f(-√2) = (-√2)^3 - 3(-√2)^2 + 1 = -2√2 - 12 + 1 = -2√2 - 11.
• f(√2) = (√2)^3 - 3(√2)^2 + 1 = 2√2 - 12 + 1 = 2√2 - 11.

7. Определим количество корней:

• f(-∞) → -∞, f(-√2) < 0, f(√2) > 0, f(+∞) → +∞.
• Таким образом, функция пересекает ось x в трех местах: один корень на интервале (-∞, -√2), второй корень на интервале (-√2, √2) и третий корень на интервале (√2, +∞).

Вывод: Уравнение x^3 - 3x^2 + 1 = 0 имеет три корня.