Какое минимальное значение принимает функция y=(x-3)^2(x+1)+2 на отрезке [-1;5]?

Пожалуйста, помогите решить эту задачу!

Алгебра 11 класс Минимумы и максимумы функций минимальное значение функции задача по алгебре отрезок [-1;5] функция y=(x-3)^2(x+1)+2 решение задачи по алгебре Новый

Чтобы найти минимальное значение функции y = (x - 3)²(x + 1) + 2 на отрезке [-1; 5], следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем критические точки функции.

Для этого сначала найдем производную функции y по x и приравняем её к нулю.

Функция y = (x - 3)²(x + 1) + 2 состоит из произведения и сложения, поэтому используем правило произведения и правило дифференцирования:

• Обозначим u = (x - 3)² и v = (x + 1).
• Тогда y = u*v + 2.
• Найдем производную: y' = u'v + uv'.

Теперь найдем u' и v':

• u' = 2(x - 3),
• v' = 1.

Теперь подставим в производную:

y' = 2(x - 3)(x + 1) + (x - 3)².

Упрощаем выражение:

y' = 2(x² - 2x - 3) + (x² - 6x + 9) = 3x² - 10x + 3.

Шаг 2: Найдем корни уравнения y' = 0.

Решим квадратное уравнение 3x² - 10x + 3 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-10)² - 4*3*3 = 100 - 36 = 64.

Теперь находим корни:

• x₁ = (10 + √64) / (2 * 3) = (10 + 8) / 6 = 3;
• x₂ = (10 - √64) / (2 * 3) = (10 - 8) / 6 = 1/3.

Шаг 3: Проверяем значения функции на границах отрезка и в критических точках.

Теперь нам нужно вычислить значения функции y в точках -1, 1/3, 3 и 5.

• y(-1) = ((-1) - 3)²((-1) + 1) + 2 = 16*0 + 2 = 2;
• y(1/3) = ((1/3) - 3)²((1/3) + 1) + 2 = (8/3)²*(4/3) + 2 = 64/9 * 4/3 + 2 = 256/27 + 2 = 256/27 + 54/27 = 310/27 ≈ 11.48;
• y(3) = (3 - 3)²(3 + 1) + 2 = 0*4 + 2 = 2;
• y(5) = (5 - 3)²(5 + 1) + 2 = 4*6 + 2 = 24 + 2 = 26.

Шаг 4: Сравниваем найденные значения.

Теперь сравним все найденные значения:

• y(-1) = 2;
• y(1/3) ≈ 11.48;
• y(3) = 2;
• y(5) = 26.

Минимальное значение функции на отрезке [-1; 5] равно 2, и оно достигается в точках x = -1 и x = 3.

Ответ: Минимальное значение функции на отрезке [-1; 5] равно 2.