Какое наименьшее значение принимает функция y=V(16+sin2x) на отрезке [-π/3; π/3]?

Алгебра 11 класс Минимумы и максимумы функций наименьшее значение функции функция y=V(16+sin2x) отрезок [-π/3; π/3] алгебра 11 класс минимальное значение тригонометрические функции анализ функции график функции Новый

Чтобы найти наименьшее значение функции y = √(16 + sin(2x)) на отрезке [-π/3; π/3], нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение области значений функции

Функция включает в себя синус, который принимает значения от -1 до 1. Таким образом, мы можем определить диапазон значений для выражения 16 + sin(2x):

• Максимальное значение: 16 + 1 = 17
• Минимальное значение: 16 - 1 = 15

Следовательно, функция y = √(16 + sin(2x)) будет принимать значения от √15 до √17.

Шаг 2: Поиск значений функции на границах отрезка

Теперь нам нужно проверить значения функции на границах отрезка и, возможно, в его внутренней точке:

• На границе x = -π/3:

sin(2 * (-π/3)) = sin(-2π/3) = -√3/2.

Следовательно, y = √(16 - √3/2).

• На границе x = π/3:

sin(2 * (π/3)) = sin(2π/3) = √3/2.

Следовательно, y = √(16 + √3/2).

Шаг 3: Поиск критических точек

Теперь найдем производную функции y и найдем критические точки внутри отрезка:

y' = (1/2)(16 + sin(2x))^(-1/2) * 2cos(2x) = cos(2x) / √(16 + sin(2x)).

Установим производную равной нулю:

cos(2x) = 0.

Решая это уравнение, получаем:

2x = π/2 + kπ, где k - целое число.

Таким образом, x = π/4 + kπ/2. На отрезке [-π/3; π/3] есть только одна критическая точка x = π/4.

Шаг 4: Вычисление значения в критической точке

Теперь подставим x = π/4:

sin(2 * π/4) = sin(π/2) = 1.

Следовательно, y = √(16 + 1) = √17.

Шаг 5: Сравнение значений

Теперь у нас есть три значения функции:

• y(-π/3) = √(16 - √3/2),
• y(π/3) = √(16 + √3/2),
• y(π/4) = √17.

Шаг 6: Определение наименьшего значения

Сравнив эти значения, мы видим, что наименьшее значение функции на заданном отрезке будет:

y = √(16 - √3/2).

Ответ: Наименьшее значение функции y = √(16 + sin(2x)) на отрезке [-π/3; π/3] равно √(16 - √3/2).